中考数学复习之线段和差最值隐圆问题

中考复习线段(和差)最值系列之辅助圆

动点轨迹为圆，可能是直白的告知，多数是隐含的告知，谓之为隐圆.这类借助辅助圆来求解最值的问题，最核心的当然是找到隐含的圆.考查的背景可能是三角形相似、全等、四边形的相关性质等，对同学们的基础功底还是有较高要求的.

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．

1.   从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

例1：如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．

连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．

2.   定角对定弦

定角对定弦，确定一个圆.涉及的知识点是同弧或等弧所对的圆周角都相等.

在初中阶段，定角一边指的是特殊角，30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°，这些角都可能出现.以下是几种常见定角对定弦的动点轨迹图.

例2：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是__________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．

连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可．可求出最小值为.

例3：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　

【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，

所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧，当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求，故DH的最小值为.

练习题

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

2.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

4.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

5.如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

7.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　  　．

8.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．

9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

10.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

11.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．

12.在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．

13.如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．

14.如图，已知ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x、y轴上，点A在x轴上运动，点C随之在y轴上运动，则点B到原点O的最大距离为_______

15.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_______．

参考答案

1.        2.     3.8     4.2   5.     6.      7.     8.      9.1      10.     11.      12.4<BC<

13.       14.   15.7