2024全国一轮数学（基础版）第42讲 双曲线课件PPT

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1. (人A 选必一P120例1改)已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程是(　 　)
设点P为两曲线在第一象限的交点，F2为上焦点，由于在椭圆中，△PF1F2为等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，所以|PF2|＝2×5－|PF1|＝10－6＝4.
【解析】 对于A，由双曲线的方程知a＝3，则C的实轴长为6，故A正确；
1. 双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的____________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________________，两焦点间的距离叫做________________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1) 当______________时，点P的轨迹是双曲线；(2) 当______________时，点P的轨迹是两条射线；(3) 当______________时，点P不存在．
2. 双曲线的标准方程和几何性质
3. 几个常用结论(1) 如图(1)，过焦点F1的弦AB与双曲线交于同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6) 利用待定系数法求双曲线标准方程的常用方法：
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，则|BF1|·|BF2|＝4.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【解析】 因为|F1F2|＝2c＝6，△PF1F2的周长为16，所以|PF1|＋|PF2|＝10.又|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|＝7，|PF2|＝3，
A. 20 B. －20 C. 40 D. －40
A. E的焦点到渐近线的距离为2B. m＝6C. E的实轴长为6
因为a＝2，所以E的实轴长为2a＝4，故C错误；
1. 已知双曲线方程研究其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的 a，b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义求出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2. 注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB. 双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C. 双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列D. 双曲线C上存在点P，满足|PF1|＝3|PF2|
【解析】 如图，连接MF1.因为△OMF2为等边三角形，所以|OM|＝|MF2|＝|OF2|＝|OF1|＝c，所以∠MOF2＝∠OF2M＝60°. 因为|OM|＝|OF1|，所以∠OMF1＝∠OF1M.又∠OMF1＋∠OF1M＝∠MOF2＝60°，所以∠OMF1＝∠OF1M＝30°，所以∠F2MF1＝90°.
1. 求双曲线的离心率或其取值范围的方法：(2) 列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
【解析】 由双曲线的c．如图，不妨设点M在第三象限，在△MNM′中，由题意可知F2，O分别是边MM′，MN的中 点，则|M′N|＝2|OF2|＝2c.(第2题)因为|M′N|＝|MN|，所以|MN|＝|F1F2|＝2c，则平行四边形MF1NF2是矩形.
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2. (2022·沈阳一模)下列关于双曲线C1：x2－y2＝2与C2：y2－x2＝2的说法中错误的是(　 　)A. 它们的焦距相等 B. 它们的顶点相同C. 它们的离心率相等 D. 它们的渐近线相同
【解析】 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝|PF2|＋2a，所以|PH|＋|PF1|＝|PH|＋|PF2|＋2a，所以过点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线C的右支于点P，如图，此时|PH|＋|PF2|＋2a最小，且最小值为3a.