精品解析：陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A. 12，0.06B. 12，0.24C. 18，0.09D. 18，0.36
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率.
【详解】第4组的频数，频率为.
故选：B
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数，再由共轭复数的定义即可求解.
【详解】，则.
故选：B
3. “五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（ ）
A. 2B. 1C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样定义计算即可.
【详解】依题意得该礼盒中莲子粽的个数为.
故选：D.
4. 用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用斜二侧画法得出原三角形的底和高即可求得面积，或者先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可.
【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，
轴，且，原图形为，
其中，且，
则的面积为.
法二：直观图面积为，
原图的面积等于直观图面积的倍，
所以原图面积为.
故选：D
5. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A. 甲､乙恰有一人中奖B. 甲､乙都没中奖
C. 甲､乙至少有一人中奖D. 甲､乙至多有一人中奖
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可.
【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；
“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；
“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；
“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．
故选：D.
6. 已知非零向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算法则，化简求得，即可求解.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，
又因为，所以.
故选：C.
7. 如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】与所成的角通过线线平行转化为或其补角，再应用余弦定理计算余弦值，最后根据异面直线所成角的范围确定符号即可.
【详解】分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.
因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.
因为，所以，所以.
又因为，所以，
所以，
异面直线所成角的范围是,故异面直线与所成角的余弦值为.

故选:C.
8. 武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（ ）（参考数据：）

A. 684米B. 732米C. 746米D. 750米
【答案】C
【解析】
【分析】结合图示首先过作交于，过作交于，然后结合题目中距离和角度，通过正弦定理 ，求得的长，从而算出两点到平面的高度差.
【详解】
如图，过作交于，过作交于，
如图所示，因为，所以，又，
则，，
则，
又，所以，
由正弦定理，得，，
即，
又，所以，
所以，
则两点到平面的高度差为米.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为的是（ ）
A. 2支都是黑色圆珠笔B. 1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔
C. 2支都是红色圆珠笔D. 2支中恰有1支是黑色圆珠笔
【答案】AB
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可得解.
【详解】设，，表示3支黑色圆珠笔，，表示2支红色圆珠笔，表示1支蓝色圆珠笔，
从这6支不同的圆珠笔中任取2支，则样本空间，共15个样本点.
可知2支都是黑色圆珠笔的概率为；
1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔的概率为；
支都是红色圆珠笔的概率为；
2支中恰有1支是黑色圆珠笔的概率为.
故选：AB.
10. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为B.
C. 在复平面内对应的点在第四象限D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的运算求出，根据复数概念判断A，根据复数模判断B，根据复数对应点判断C，根据复数的乘方运算判断D.
【详解】因为，所以，
所以，的虚部为，故A正确；
，故B正确；
在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：ABD
11. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ）

A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据饼状图和条形图对四个选项逐个计算可得答案.
【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.
由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为，
则2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，
2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，
因为，故 B正确；
2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，
2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，故C错误；
2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，
届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，因为，故D正确.
故选：ABD.
12. 上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（ ）

A. 这个六面体是棱台
B. 该六面体的外接球体积是
C. 直线与异面
D. 二面角的余弦值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：,这个六面体不是棱台，错误；
选项B：这个六面体的外接球球心在直线上，结合勾股定理，计算六面体的外接球半径，从而求得体积，正确；
选项C：和显然不相交，结合题意证得与不平行，所以和不在同一平面内，正确；
选项D：取和的中点分别为，， 即所求二面角的平面角， 解得，正确；
详解】
因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，
所以这个六面体不是棱台，所以错误.
由题意可知，这个六面体外接球球心在直线上，且，因为，
解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确.
和显然不相交，因为，
所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确.
取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以，
D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知复数为纯虚数，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的概念与分类，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数为纯虚数，可得，解得.
故答案为：.
14. 已知正四棱台的高为6，且，则该四棱台的体积为___________.
【答案】56
【解析】
【分析】根据台体体积公式求得正确答案.
【详解】根据棱台的体积公式可得.
故答案为：
15. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，进而求得数据的平均数为，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，数据的中位数为，可得，所以，
所以这6个月的月慢走里程的平均数为，
要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，
又由，
故当标准差最小时，.
故答案为：.
16. 已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先推出为直角三角形斜边的中点，再过作的垂线，垂足为，推出，，利用可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点，
过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为，
因为，所以，
因为，所以，即的取值范围为.

故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，
因为，所以，解得．
【小问2详解】
解：由题意得，向量，，
由，可得，则，
即，解得或，
因为，所以，可得，
所以．
18. 在中，分别是内角的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行角化边可得，再结合余弦定理运算求解；
（2）利用余弦定理解得，再结合正弦定理运算求解.
【小问1详解】
因为，所以.
由正弦定理可得：，
根据余弦定理可得，
因为，所以.
【小问2详解】
由余弦定理知，即，
化简得，解得或（舍去）.
由正弦定理知，则.
19. 为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
（2）求的值；
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
【答案】（1）户
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图得到频率，利用频率得到答案；
（2）根据频率分布直方图中矩形面积与频率的关系，以及百分位数的计算公式，列出方程组，可得答案；
（3）根据频率分布直方图平均数的估计值计算公式可得答案.
【小问1详解】
因为月均用水量在内的家庭占，
所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.
【小问2详解】
由频率分布直方图，可得，则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，
所以在，则，解得.
【小问3详解】
估计这500个家庭的月均用水量的平均值为
.
20. 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.

（1）证明：//平面；
（2）证明：平面//平面.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令与的交点，利用平行公理及线面平行的判定推理作答.
（2）取的中点，根据给定的条件结合平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行、面面平行的判定推理作答.
【小问1详解】
如图，连接，设与相交于点，连接，
因为四边形是正方形，则为的中点，又为的中点，
于是，，即四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，因为，且，
则四边形都为平行边形，有，
于是四边形为平行四边形，即有，
而为上靠近点的四等分点，则为的中点，又为的中点，则，
因此，又平面，平面，则平面，
显然，又平面，平面，则平面，
而平面，
所以平面平面
21. 已知1个不秀明的袋子中装有6个白球和4个黄球（这些球除颜色外无其他差异）.甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放人1个黄球.再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球.
（1）求袋子中球的颜色只有一种的概率；
（2）求袋子中白球个数为4的概率.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）4次摸球后袋子中球的颜色只有一种，只能是白球，计算即可求解；
（2）4次摸球后袋子中白球个数为4，说明4次摸球中有1次摸到的是白球，分情况计算即可.
【小问1详解】
分别记第次摸到白球和黄球为事件，事件相互独立，
记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件，
则；
【小问2详解】
记“袋子中白球的个数为4”为事件.
，
故袋子中白球个数为4的概率为.
22. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.

（1）证明：平面平面.
（2）若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证得，，由线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.
（2）连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积.
【小问1详解】
连接，因为所以侧面是正方形，所以，
因为分别为的中点，所以，
因为是正三角形，所以，因为平面，
平面，，
，平面，所以平面，
平面，所以，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
连接交于，取的中点，过作，
分别交于，连接，
易得，
因为平面，平面，所以平面，
平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面，
所以的轨迹为线段，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故三棱柱的表面积为.

组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
9