2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在等比数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是某地在天内感染新冠病毒的累计病例单位：万人与时间单位：天的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知抛物线：的焦点为，上一点满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知命题：关于的不等式的解集为，则命题的充要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设，为两条直线，，为两个平面，若，则(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10.  已知等差数列的首项为，前项和为，且对任意，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  现有若干扑克牌：张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为，则(    )

A.  B.
C.  D. 以上三种情况都有可能

12.  若对任意的，，且，都有成立，则实数的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知平面向量，，且，则 ______ ．

14.  若则的值为______ ．

15.  在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，，且，则鳖臑外接球的表面积为______ ．

16.  已知双曲线：的左焦点为，点在双曲线的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线的离心率是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
为了解某地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了名学生进行调查，统计数据如表所示．

中学生包括初中生和高中生，根据所给数据，完成如表的列联表；

Ⅱ根据中的列联表，判断是否有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关．
附：，其中

18.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ在是的高；是的中线；是的角平分线，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若，，点是边上的一点，且_____求线段的长；

19.  本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面，且．
求证：平面；
求几何体的体积．

20.  本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有两个不同的零点，求的取值范围．

21.  本小题分
设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
求椭圆的方程；
若直线交椭圆于、两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
Ⅰ求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
Ⅱ已知点，设直线与曲线交于，两点，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
若，解不等式；
若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
由复数相等的充要条件得，，所以．
故选：．
由复数相等的充要条件可得，的值．
本题主要考查复数相等的充要条件，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
所以．
故选：．
设等比数列的公比为，求出的值，可得出，代值计算即可得解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据散点图，可以看出，散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，
选项A对应的“直线型”的拟合函数；
选项C对应的“幂函数型”的拟合函数；
选项D对应的“对数型”的拟合函数．
故选：．
根据散点图和常见函数的图象特征判断即可．
本题考查点图和常见函数的图象特征，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，且，
则为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项BD；
又，
则排除选项A．
故选：．
由函数的奇偶性可判断选项BD，由，可排除选项A，进而得到答案．
本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得 ，因为，所以．
由，解得．
故选：．
点代入抛物线方程，得，再利用等于点到准线距离求值．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为关于的不等式的解集为，
所以，
解得．
故选：．
由已知结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：模拟执行程序框图的运行过程，如下：
，，，
，，，
，，，
，，，
终止循环，输出．
故选：．
模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的值．
本题考查了程序框图的应用问题，模拟执行程序框图的运行过程是解题的常用方法，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若，，，则与平行、相交或异面，故A错误；
对于，若，，，则与平行、相交或异面，故B错误；
对于，若，，，则，故C正确；
对于，若，，，则与平行、相交或异面，故D错误．
故选：．
由空间位置关系逐项判断即可得结论．
本题主要考查了空间位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：的公差为，由题设条件可知，且
则，
因此，，
，
而符号不确定．
故选：．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式性质的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
，
张牌面分别是，，，，，的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
，
．
故选：．
根据概率公式求出和，即可求得答案．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对任意的，，且，
可得，
则等价于，
即，
令，则有，
故在上单调递增，
，，
解得，
故对任意的，，且，都有成立，则实数的最大值是．
故选：．
根据题意，将转化为，构造，通过导数判断单调性，求解即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，


故答案为：
根据题意，有，进而根据向量平行的充要条件，构造方程，解可得答案．
本题考查的知识点是向量平行的坐标运算，当时，则
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意易得平面，又平面，
所以与都为以为斜边的直角三角形，
所以鳖臑外接球的球心为的中点，
为该外接球的直径，设该外接球的半径为，
又，
所以
所以外接球的表面积，
故答案为：
三棱锥放在长方体中高级外接球的直径等于长方体的对角线求出外接球的半径，进而求出体积．
考查三棱锥的外接球直径与棱长的关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，
则，
由双曲线的定义可得，
则．
，，
则周长的最小值为，
整理得，即，
解得．
故答案为：．
设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，由三角形两边之和大于第三边得，再由双曲线的定义得，从而得到，结合条件可求出关于，的方程，进一步可得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ中学生包括初中生和高中生，根据所给数据，表格如下：

Ⅱ因为

，
所以有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关，且犯错误的概率不超过、 

【解析】根据列出表格，再根据公式求出的值，即可判断是否有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关．
本题考查卡方独立性检验，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，，，分别为，，所对的边，
且，可得，
由余弦定理可得，，
；
选，是的高，
，，，
，
，
的面积，
．
选，是的中线，
是的中线，
，
，
，，，
．
选是的角平分线，
，，，
，
，
． 

【解析】由条件变形结合余弦定理可得；选：根据等面积法求解即可；选：由向量的线性运算用，表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选：根据，结合面积公式可得．
本题考查了余弦定理以及向量，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：平面，，
平面．
平面，．
在正方形中，，
又，，平面，平面．
连接，平面，平面，，
又，，，平面，平面，
则，
，
则． 

【解析】由平面，，可得平面，进而得到，结合，进而得证；
连接，将几何体分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式即可．
本题考查线面垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：当时，，，
，又，
所以在处的切线方程为，即．
，函数定义域为，
有两个不同的零点，所以函数与有两个不同的交点，
令，，，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以时，取得极小值，
时，；时，，函数图像如图所示，

所以，
所以的取值范围为． 

【解析】当时，，求导得，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程．
若有两个不同的零点，则函数与有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性，通过图像数形结合即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为的离心率为，
所以在椭圆的离心率，，且得
所以椭圆的方程为．
由消去得，
因为直线与椭圆相交于，两点，所以，解得，，．
又到直线的距离为．
当且仅当，即时取等号．
所以的面积取最大值时的直线方程为或． 

【解析】由双曲线的离心率得到椭圆的离心率，在结合椭圆中，即可求解；
由椭圆方程与直线方程联立，结合韦达定理及弦长公式求得，再由点到线的距离公式求得点到的距离，代入三角形面积公式，最后由基本不等式可求解；
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，及由基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于中档题；
 

22.【答案】解：Ⅰ曲线的极坐标方程为．
整理得：，
转换为直角坐标方程为：．
直线的参数方程为为参数．
转换为普通方程为：．
Ⅱ把直线的参数方程为为参数．
代入圆的直角坐标方程得到：，和为、对应的参数，
则：． 

【解析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用．
Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
Ⅱ利用直线和圆的位置关系，建立一元二次方程，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
 

23.【答案】解：若，可知，
当时，不等式转化为，
解得，
当时，不等式转化为，不等式恒成立，
当时，不等式转化为，
解得，
综上，不等式的解集为；
若，则，
因为，
当且仅当时，等号成立，
故，
即或，
解得或，
则，即的取值范围为 

【解析】分，和三种情况讨论求解即可；
利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后将问题转化为，再解不等式可求得结果．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．