陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

高一期末考试质量监测

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：

则第4组的频数和频率分别是（    ）

A. 12，0.06      B. 12，0.24      C. 18，0.09       D. 18，0.36

2. 已知复数，则（    ）

A.      B.        C.       D.

3. “五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（   ）

A. 2     B. 1      C. 4       D. 3

4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则 的原图形的面积为（    ）

A. 5     B.       C.       D.

5. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料.甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ）

A. 甲、乙恰有一人中奖         B. 甲、乙都没中奖

C. 甲、乙至少有一人中奖       D. 甲、乙至多有一人中奖

6. 已知非零向量满足，则（    ）

A.      B.       C.        D.

7. 如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.      B.       C.       D.

8. 武当山，位于湖北西北部十堰市境内，其自然风光以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉琢的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“亘古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，在点处测得点的仰角为15°，，在点处测得点的仰角为，且，则两点到水平面的高度差约为（    ）（参考数据：）

A. 684米      B. 732米      C. 746米      D. 750米

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为的是（    ）

A. 2支都是黑色圆珠笔       B. 1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔

C. 2支都是红色圆珠笔       D. 2支中恰有1支是黑色圆珠笔

10. 已知复数满足，则（    ）

A. 的虚部为-1                         B.      

C. 在复平面内对应的点在第四象限       D.

11. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（    ）

A. 该校2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%

B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数在内的学生人数的2.2倍还多

C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内

D. 相比于2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加

12. 上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，

，则（    ）

A. 这个六面体是棱台              B. 该六面体的外接球体积是

C. 直线与异面            D. 二面角的余弦值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知复数为纯虚数，则=_________.

14. 已知正四棱台的高为6，且，则该四棱台的体积为___________.

15. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则_______________.

16. 已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知向量.

（1）若，求的值；

（2）若，且，求

18.（12分）

在中，分别是内角的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若，求.

19.（12分）

为提倡节约用水，某市了为制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2022年500个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.

（1）在这500个家庭中的月均用水量在内的家庭有多少户？

（2）求的值；

（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

20.（12分）

如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面.

21.（12分）

已知1个不秀明的袋子中装有6个白球和4个黄球（这些球除颜色外无其他差异）.甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放人1个黄球.再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球.

（1）求袋子中球的颜色只有一种的概率；

（2）求袋子中白球个数为4的概率.

22.（12分）

如图，在正三棱柱中，，分别为的中点.

（1）证明：平面平面.

（2）若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.

高一期末考试质量监测数学参考答案

1.B  第4组的频数，频率为.

2. B，则.

3.D 依题意得该礼盒中莲子粽的个数为.

4.D法一：

如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，原图形为，其中，且，则的面积为.

法二:直观图面积为，原图形的面积等于直观图面积的倍，所以原图形的面积为.

5.D “甲、乙恰有一人中奖”与A互斥但不对立，“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立.

6.C 因为，所以.因为，所以，又因为，所以.

7.C 分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.因为，所以，所以.又因为，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.

8.C 如图，过作交于，过作交于.如图所示，因为米，所以米，又，则，，

则米，又，，所以，由正弦定理，得，

，

即米，又，且

所以米，则两点到平面的高度差为米.

9.AB 设，，表示3支黑色圆珠笔，表示2支红色圆珠笔，表示1支蓝色圆珠笔，从这6支不同的圆珠笔中任取2支，则样本空间，共15个样本点.可知2支都是黑色圆珠笔的概率为； 1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔的概率为； 支都是红色圆珠笔的概率为；2支中恰有1支是黑色圆珠笔的概率为.

10. ABD 因为，所以，的虚部为-1.A正确；

，B正确；在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，C错误；因为，所以，D正确

11. ABD 2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.因为2023届初三学生人数较2022届上升了10%，假设2022届初三学生人数为，则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，，B正确； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确.

12.BCD

因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，所以这个六面体不是棱台，A错误； 由题意可知，这个六面体的外接球球心在直线上，且，设六面体的外接球半径为，因为，解得，所以，所以这个六面体的外接球体积是，B正确； 和显然不相交，因为，，，所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确； 设和的中点分别为，连接，则即所求二面角的平面角，，所以，D正确.

13.1 因为复数为纯虚数，所以，解得.

14.56 根据棱台的体积公式可得.

15.16 由中位数为16，得，所以，所以这6个月的月慢走里程的平均数为，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，而，

故当标准差最小时，.

16.

因为，所以.又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点，过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，而，所以.因为，所以，即的取值范围为.

17.解：（1）因为，所以，

解得.

（2）由题意得，

，

由，得，则，

即，解得或（舍去），

因为，

所以.

18. 解：（1）因为，

所以，

所以，

根据余弦定理可得 ，

因为，所以.

（2）由余弦定理知，即，

化简得，解得或（舍去）.

由正弦定理知，则.

19.解：（1）因为月均用水量在内的家庭占30%，

所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户；

（2）由频率分布直方图，可得，

则，

因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，

所以在，

则，

解得；

（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为

.

20.证明：（1）

如图，连接，设与相交于点，连接，

因为四边形是正方形，所以为的中点.又因为为的中点，

所以，，

所以四边形为平行四边形，则，

因为平面，平面，

所以/平面；

（2）取的中点，连接，因为且，

所以四边形都为平行边形，

所以，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为为上靠近点的四等分点，所以为的中点，

又因为为的中点，所以，

所以，又平面，平面，则平面，

同理可得平面

因为，所以平面平面.

21.解：分别记第次摸到白球和黄球为事件，

（1）记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件，

则；

（2）记“袋子中白球的个数为4”为事件.

故袋子中白球个数为4的概率为.

22.（1）证明：

如图1，连接，

∵，∴侧面是正方形，∴，

∵分别为的中点，∴，∴，

 ∵为正三角形，∴，

∵平面，

∴，

∵，∴平面，∴.

∵∴⊥平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）解：如图2，连接，交于，取的中点，过作，分别交，于，连接，

易得，

∵平面，平面，∴平面，平面，

∵，∴平面平面，∴的轨迹为线段，

∵，∴，∴，

∵，∴，

故三棱柱的表面积为.