精品解析：陕西省西安市第三中学2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题（解析版）

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西安市第三中学2022－2023学年度第二学期高二年级期末
数学（理）学科试题
命题人： 审题人：
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）．
A. R B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解.
【详解】,
,
,
故选：B.
2. 已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将化为同底的数,则利用指数函数的单调性可以比较的大小,再将数与0,1比较大小,即可得出结论.
【详解】由题知,,,
又,
所以,
故选:B.
【点睛】本题考查指数､对数式比较大小,属于基础题.
3. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ）
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4)
【答案】C
【解析】
【分析】
可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.
【详解】为上增函数


由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.
故选：C
4. 函数的部分图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判断即可.
【详解】因为，令，解得或，
所以的定义域为，
又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当时，，或当，即时，，故排除D.
故选：A.
5. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令．
因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴且，所以且，
解得，即a的取值范围为，
故选：D．
6. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】，当时，；
当时，.
所以，.
若对任意的，不等式恒成立，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
7. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A. 和 B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案.
【详解】因为的单调递减区间为，
在和上为增函数，
所以的“可变区间”为和，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”,“可变区间”的含义，属于中档题.
8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.
【详解】为偶函数，且在上递减.
∵，
∴，
∵，，∴且，∴.
故选：B
9. 定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】等价于，即，
记，，．
故选：D．
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
D. 没有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的定义判断A和B，然后作出的图象，观察图象可知函数的单调性和最值，进而判断C和D.
【详解】，，所以是偶函数；
作出的图象，可知在上是减函数，在上是增函数；
由图象可知函数存在最小值0.
故选：AC.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及最值，考查逻辑思维能力，考查数形结合思想，属于常考题.
11. 若函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的性质且，可得,时的取值范围，再将目标式转化可得 或，求解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，所以，
所以在上，时的取值范围是 ，
又由偶函数对称性可知，在上，的的取值范围是，
则时的取值范围是 ，
所以 或
解得取值范围为 ，
故选：C
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．
【详解】，又>0，∴，∴
∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．
∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则________.
【答案】11
【解析】
【分析】由分段函数可得，即可得出结果.
【详解】依题意.
故答案为：11
【点睛】本题考查了分段函数求函数值问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
14. 已知函数的定义域为 则的定义域为_________________
【答案】
【解析】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
15. 已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】
【分析】问题等价于不等式在区间上有解，设，根据函数的单调性和最值可求得实数的取值范围.
【详解】解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
16. 已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案：.
三．解答题（本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、明过程或演算步骤．）
17. 化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；
【小问1详解】


；
【小问2详解】




.
18. 已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【小问1详解】
因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
19. 定义在上的函数和，满足，且，其中.
（1）若，求的解析式;
（2）若不等式的解集为，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意求解析式，再由求参数a，即可得解析式；
（2）由（1）及题设得，结合解集列方程组求m、a，即可得结果.
【小问1详解】
由题意知，，又，
所以，即．
所以函数的解析式．
【小问2详解】
由，得，
由题意知，所以，
所以，即，所以．
20. 已知函数（）.

（1）当时，画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为，求的表达式.
【答案】（1）图象见解析，的单调减区间为和
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数化简后，画出其图象，然后根据图象可求出函数的单调减区间；
（2）求出的对称轴为，然后分和两种情况求解函数的最大值.
【小问1详解】
当时，的图象如图

由图象可知的单调减区间为和
【小问2详解】
由题，对称轴为，
则①当时，即时，
在单调递减，在单调递增，
所以，
，，
因为当时，，当时，，
所以，
②当时，即时
在和单调递减，在单调递增，
所以，
因为当时，，
所以，
综上所述
21. 为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.
上市时间/天
2
6
32
市场价/元
148
60
73

（1）根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【答案】（1），
（2）当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
【解析】
【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，而根据表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
（2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【小问1详解】
每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.
分别把，代入，得
解得，，∴，.
此时该函数的图象恰经过点，∴，.
【小问2详解】
由（1）知，
当且仅当，即时，有最小值，且.
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
22. 已知函数（x∈R）为奇函数.
（1）求实数k的值；
（2）若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；
（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；
（3）用换元法，设，由函数单调性求得的范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．
【小问1详解】
因为是奇函数，
所以，解得k＝1，
此时符合题意．
【小问2详解】
原问题即为，，即恒成立，
则，
设，∵，∴，
则，
∵，∴当时，取得最小值26，
要使不等式在上恒成立，则，
即实数m的最大值为26．
【小问3详解】
，
则，
设，当x≥1时，函数为增函数，则，
若在上有零点，
则函数在上有零点，
即，即，
∵，当且仅当时取等号，
∴，即λ的取值范围是．