精品解析：陕西省西安市阎良区2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题（解析版）

阎良区2022～2023学年度第二学期期末质量检测

高二数学（理科）试题

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数，则的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将化简，再由共轭复数得定义即可得到结果.

【详解】，则.

故选：B.

2. 直线（t为参数）的倾斜角是（    ）

A. 120° B. 30° C. 60° D. 150°

【答案】A

【解析】

【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，然后求出直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角

【详解】由（t为参数），得

，

所以，得，

设直线的倾斜角为，则，

因为，

所以，

所以直线的倾斜角是，

故选：A

3. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点的直角坐标为，则它的极坐标可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用，对选项逐一分析判断即可.

【详解】因为点的直角坐标为，设点对应的极坐标为，

则，

对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

4. 已知，则（    ）

A. 28 B. 30 C. 56 D. 72

【答案】C

【解析】

【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值.

【详解】因为，

所以由组合数性质得，，

所以.

故选：C.

5. 二项式的展开式中含项的系数是（    ）．

A. 6 B.  C.  D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】因为二项式的展开式通项为，

令，则，

所以二项式的展开式中含项的系数为，

故选：.

6. 下列以为参数的参数方程中，能够表示方程的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出方程中的范围，再结合幂函数、正弦函数、余弦函数以及正切函数的值域，对选项逐一判断即可.

【详解】由可知，，且.

对于A，因为，所以，显然不满足题意，故A错误；

对于B，因为，且，显然不满足题意，故B错误；

对于C，因为，且，显然不满足题意，故C错误；

对于D，两式相乘可得，

又，且，所以，且，故D正确.

故选：D.

7. 方程和的曲线的位置关系为（    ）

A. 相离 B. 外切

C. 相交 D. 内切

【答案】B

【解析】

【分析】将极坐标方程化为平面直角坐标系方程后利用两圆的位置关系求解即可.

【详解】，则即，得，由，则，即，得，则两圆的圆心距，故两曲线的位置关系为外切，

故选：B.

8. 已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论错误的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时，取得极大值 D. 当时，取得最大值

【答案】D

【解析】

【分析】由的图像得到函数的单调区间，即可得到和为的两根，结合函数极值的定义分别判断各个选项即可.

【详解】由的图像可知在上单调递减, ，A正确；

由的图像可知在和上单调递减,在上单调递增，

所以在处取得极小值，在处取得极大值，所以，B正确, C正确;

在处取得极大值，但不是的最大值，故D错误.

故选：D.

9. 某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A、B、C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同安排方法数为（    ）

A. 14 B. 20 C. 24 D. 36

【答案】B

【解析】

【分析】先确定特殊情况，再分组分配，根据乘法与加法计数原理计算即可.

【详解】解：由于乙不能去A社区，则乙可以去B或C社区，共2种，

剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，

①分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有种，

②分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有种，

所以不同的安排方法数为种，

故选：B.

10. 函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】理解题目新定义，对各选项进行计算分析即可得出答案.

【详解】若函数的定义域为，若对任意，

， ，当时，，则不符合导减函数的定义；

，，当时，，则不符合导减函数的定义；

，，当时，，则不符合导减函数的定义；

，，则符合导减函数的定义.

故选：D

11. 在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了30个不透明的纸箱，每个箱子中装了6个形状大小相同的小球（2个红球，4个黑球），分甲、乙两组让同学们来摸球.甲组：在20个纸箱中各任意摸出一个小球；乙组：在剩下的10个纸箱中各任意摸出两个小球.将甲组至少能摸出一个红球的概率记为，乙组至少能摸出一个红球的概率记为，则（    ）

A.  B.

C.  D. 以上三种情况都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出甲组、乙组从一个纸箱中摸出有红球的概率，再利用独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式，列式比较大小作答.

【详解】甲组从一个纸箱中任意摸出一个球，摸出是红球的概率为，

甲组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此，

乙组从一个纸箱中任意摸出两个球，摸出有红球的概率为，

乙组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，

因此，因为，所以.

故选：A.

12. 已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.

【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，

所以，

即有两解，

所以有两解，

令，

则，

所以当时，0，此时函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以在处取得极大值，，

且时，的值域为，

时，的值域为，

因此有两解时，实数的取值范围为，

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知离散型随机变量服从二项分布，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.

【详解】因为随机变量X服从二项分布，

所以.

故答案为：.

14. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于______.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】∵，∴，

∴曲线在点处的切线的斜率，

∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，

∴.

故答案为：.

15. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为1的概率为0.1；发送信号1时，接收为1的概率为0.95，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为0的概率为_____________.

【答案】0.475##

【解析】

分析】运用全概率公式计算即可.

【详解】设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，

则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”，

所以，

所以接收信号为0的概率为：.

故答案为：0.475

16. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【解析】

【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为函数在上不单调，

所以在上有零点，

即方程在上有根，即方程在上有根，

又函数定义域为，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：

（1）请将上面列联表补充完整；

（2）是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?

附：，其中.

【答案】（1）列联表见解析   

（2）有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表；

（2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论.

【小问1详解】

根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下，

【小问2详解】根据列联表数据，得

，

所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.

18. 已知函数．

（1）求的极值；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）极大值为；极小值为   

（2）最大值为，最小值为．

【解析】

【分析】（1）求出函数导数，得出的根，列表即可得解；

（2）根据函数单调性及极值求函数最大最小值即可.

【小问1详解】

因为，定义域为，所以．

令，解得，或．

当x变化时，，的变化情况如下表所示．

所以，当时，有极大值，且极大值为；

当时，有极小值，且极小值为．

【小问2详解】

由（1）知，在区间上有极小值为．

因为，．

所以在区间上的最大值为，最小值为．

19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若与交于A，B两点，点的直角坐标为，求的值

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用消参法可到曲线的普通方程，再利用可得曲线C2的直角坐标方程；

（2）利用直线参数的几何意义，结合韦达定理即可得解．

【小问1详解】

因为曲线的参数方程为（为参数），

两式相加消去，可得，

故曲线的普通方程为；

因为曲线的极坐标方程为，即，

又，

所以曲线的直角坐标方程为.

【小问2详解】

易知点落在曲线上，

将曲线的参数方程为（为参数），代入，得，

易得，设，是对应的参数，则，

所以.

20. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：；

乙：；

丙：.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解；

（2）先分别求得甲、乙、丙获得优秀奖的概率，再按步骤计算离散型随机变量的概率及期望即可.

【小问1详解】

设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，

其概率为；

【小问2详解】

记事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则，

事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则，

依题意可知的可能取值为，

则，

，

，

，

所以的分布列为

期望.

21. 某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：

（1）易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；．

【答案】（1）答案见解析   

（2），31人.

【解析】

【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；

（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入求解即可.

【小问1详解】

由题意，知，，

，，

所以.又，则.

因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，

所以可以用线性回归模型拟合与的关系.

【小问2详解】

由（1）可得，，

则，

所以关于的回归直线方程为，

当时，，

所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.

22. 已知，，设函数，其中为自然对数的底数，.

（1）当时，证明：函数在上单调递增；

（2）若对任意正实数，函数均有三个零点，求实数的取值范围

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，可得证明即可；

（2）将问题转化为方程有三个解，利用导数研究函数的图像，从而得到，再研究函数的最值即可得解.

【小问1详解】

当时，，

令，所以，

当单调递减，

当单调递增，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

【小问2详解】

因对任意正实数，函数均有三个零点，

当时，，即不是的零点，

所以方程，即有三个解，

记函数，

因为，

所以当单调递增；

当单调递减；

当单调递增；

又，则的大致图像如下，

所以当时，方程有三个解，

设，则，，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，则，故，

所以实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.