2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习12《导数的运算、几何意义》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习12《导数的运算、几何意义》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
设函数f(x)=x3＋ax2，若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y=0，则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(1，－1) C.(－1,1) D.(1，－1)或(－1,1)
设函数f(x)=x＋eq \f(1,x)＋b，若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab=( )
A.1 B.0 C.－1 D.－2
已知函数f(x)=eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)=( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C.1＋x D.1－x
如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=( )
A.－1 B.0 C.2 D.4
设函数f(x)=x3＋ax2，若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y=0，
则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(1，－1) C.(－1,1) D.(1，－1)或(－1,1)
已知曲线y=eq \f(2x,x－1)在点P(2,4)处切线与直线l平行且距离为2eq \r(5)，则直线l方程为( )
A.2x＋y＋2=0
B.2x＋y＋2=0或2x＋y－18=0
C.2x－y－18=0
D.2x－y＋2=0或2x－y－18=0
已知曲线f(x)=ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )
A.e B.－e C.eq \f(1,e) D.－eq \f(1,e)
已知f(x)=ln x，g(x)=eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A.－1 B.－3 C.－4 D.－2
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)=( )
A.－e B.－1 C.1 D.e
已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Sn,则S2 016的值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，
记函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ″(x)，
则有f ″(x0)=0.若函数f(x)=x3－3x2，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 017)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 032,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 033,2 017)))=( )
A.－8 066 B.－4 033 C.8 066 D.4 033
已知曲线C在动点P(a，a2＋2a)与动点Q(b，b2＋2b)(a＜b＜0)处的切线互相垂直，则b－a的最小值为( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.－eq \r(2)
二、填空题
若曲线y=2x2+ SKIPIF 1 < 0 -2在点(1,a)处的切线方程是x+y-a-1=0,则a= .
函数f(x)=xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
若函数f(x)=eq \f(1,2)x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
若点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则点P到直线y=x－2距离的最小值为 .
函数f(x)=ln x+eq \f(1,2)x2+ax的图像上存在与直线3x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .
\s 0 答案解析
答案为：D；
解析：∵f(x)=x3＋ax2，∴f′(x)=3x2＋2ax，
∵曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y=0，∴3xeq \\al(2,0)＋2ax0=－1，
∵x0＋xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)=0，解得x0=±1，∴当x0=1时，f(x0)=－1，
当x0=－1时，f(x0)=1.故选D.
答案为：D；
解析：由题意可得，f(a)=a＋eq \f(1,a)＋b，f′(x)=1－eq \f(1,x2)，所以f′(a)=1－eq \f(1,a2)，
故切线方程是y－a－eq \f(1,a)－b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))(x－a)，将(0,0)代入得－a－eq \f(1,a)－b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))(－a)，
故b=－eq \f(2,a)，故ab=－2，故选D.
答案为：B.
解析：函数f(x)=eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)=eq \f(ex－xex,e2x)=eq \f(1－x,ex)，故选B.
答案为：B；
解：依题意得f(3)=k×3＋2=1，k=－eq \f(1,3)，
则f′(3)=k=－eq \f(1,3)，g′(3)=f(3)＋3f′(3)=1－1=0，故选B.
答案为：D；
解析：f′(x)=3x2＋2ax，依题意，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2ax0＝－1，,x0＋fx0＝0，,fx0＝x\\al(3,0)＋ax\\al(2,0)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,x0＝1，,fx0＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,x0＝－1，,fx0＝1，))故选D.
答案为：B；
解析：y′=eq \f(2x－1－2x,x－12)=－eq \f(2,x－12)，y′|x=2=－eq \f(2,2－12)=－2，因此kl=－2，
设直线l方程为y=－2x＋b，即2x＋y－b=0，由题意得eq \f(|2×2＋4－b|,\r(5))=2eq \r(5)，
解得b=18或b=－2，所以直线l的方程为2x＋y－18=0或2x＋y＋2=0.故选B.
答案为：C；
解：解法一：∵f(x)=ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)=eq \f(1,x).
设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k=f′(x0)=eq \f(1,x0)=eq \f(ln x0,x0)，
∴ln x0=1，x0=e，∴k=eq \f(1,x0)=eq \f(1,e).
解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)=ln x及曲线f(x)=ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.
答案为：D；
解：∵f′(x)=eq \f(1,x)，∴直线l的斜率k=f′(1)=1.又f(1)=0，
∴直线l的方程为y=x－1.
g′(x)=x＋m，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＋m＝1，,y0＝x0－1，,y0＝\f(1,2)xeq \\al(2,0)＋mx0＋\f(7,2)（m＜0），))
∴－m=eq \f(1,2)(1－m)2＋m(1－m)＋eq \f(7,2)，得m=－2，故选D.
答案为：B
解析：由题可得f′(x)=2f′(1)＋eq \f(1,x)，则f′(1)=2f′(1)＋1，解得f′(1)=－1，所以选B.
答案为：D；
答案为：A
解析：由f(x)=x3－3x2得f ′(x)=3x2－6x，f ″(x)=6x－6，
又f ″(x0)=0，所以x0=1且f(1)=－2，即函数f(x)的对称中心为(1，－2)，
即f(x)＋f(2－x)=－4.
令S=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 017)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 032,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 033,2 017)))，
则S=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 033,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 032,2 017)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))，
所以2S=4 033×(－4)=－16 132，S=－8 066.
答案为：A；
解析：由题意可得曲线y=x2＋2x上存在两点处的切线互相垂直，
由y=x2＋2x的导数为y′=2x＋2，可得(2a＋2)(2b＋2)=－1，
由a＋1＜b＋1，可得a＋1＜0，且b=eq \f(1,－4a＋1)－1，
b－a=eq \f(1,－4a＋1)＋(－a－1)≥2·eq \r(－a－1·\f(1,－4a＋1))=2×eq \f(1,2)=1，
当且仅当eq \f(1,－4a＋1)=－a－1，即a=－eq \f(3,2)，b=－eq \f(1,2)时等号成立，所以b－a的最小值为1.
答案为：5；
解析：y'=4x-,依题意有y'|x=1=4×1-a=-1,所以a=5.
答案为：eq \f(e,4)；
解析：f′(x)=ex＋xex=ex(x＋1)，∴切线斜率k=f′(1)=2e，
∴曲线y=f(x)在(1，e)处的切线方程为y－e=2e(x－1)，即y=2ex－e.
∵y=2ex－e与坐标轴交于点(0，－e)，(0.5,0)，
∴y=2ex－e与坐标轴围成的三角形面积S=eq \f(1,2)×e×eq \f(1,2)=eq \f(e,4).
答案为：1.
解析：由题意可知f′(x)=a－eq \f(1,x)，所以f′(1)=a－1，
因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，
所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.
令x=0，得y=1，即直线l在y轴上的截距为1.
答案为：[2，＋∞).
解析：∵f(x)=eq \f(1,2)x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)=x－a＋eq \f(1,x).
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋eq \f(1,x)－a=0有解，∴a=x＋eq \f(1,x)≥2(当且仅当x=1时取等号).
答案为：eq \r(2);
解析：由题意知y=x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y=x－2平行的直线的切点时，点P到直线y=x－2的距离最小，如图所示.
故令y′=2x－eq \f(1,x)=1，解得x=1，故点P的坐标为(1,1).
故点P到直线y=x－2的最小值dmin=eq \f(|1－1－2|,\r(2))=eq \r(2).
答案为：(-∞,1]；
解析：由题意,得f'(x)=+x+a,故曲线y=f(x)上存在切点P(t,f(t))满足+t+a=3,
所以3-a=+t有解.因为t>0,所以3-a=+t≥2(当且仅当t=1时取等号),得a≤1.