2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.1导数的运算及几何意义含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.1导数的运算及几何意义含解析答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
4．已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知曲线在处的切线为，则的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
6．若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
15．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
16．已知函数，则 ．
17．点在曲线上移动，设在点上的切线的倾斜角为，则的取值范围是 .
18．已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
19．过点作曲线的切线，请写出切线的方程 .
20．曲线过坐标原点的切线方程为 .
21．过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
22．已知函数，则曲线过点的切线方程为 ．
23．曲线与的公切线方程为 .
24．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
25．写出与函数在处有公共切线的一个函数 ．
26．试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
四、解答题
27．求下列函数的导数：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)；
(6) ；
(7) ；
(8)．
28．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
29．求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
30．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
(5)
(6)
(7)
(8)
参考答案：
1．A
【分析】其中为常数，进而求出函数的导函数，代入即可求解.
【详解】由于函数，
则其导函数为：，
代入，可得：，
解得：，
故选：A.
2．C
【分析】两边求导得，代入求出，最后得到，再代入即可.
【详解】由得,
将代入可得，，
故，因此.
故选：C.
3．D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
4．C
【分析】根据导数的几何意义可得，结合导数的定义可知，即可求解.
【详解】由直线与曲线切于点，
知.
由导数的定义知，.
故选：C
5．A
【分析】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【详解】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为.
故选：A.
6．D
【分析】设出切点，利用处的导数几何意义，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.
【详解】设点坐标为，
由，，
得，
则以为切点的切线斜率为，
令切线倾斜角为，，则，
则.
故选：D.
7．C
【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【详解】由，则，即直线的斜率为，
根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.
故选：C
8．A
【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【详解】，
由导数的几何意义可知，.
故选：A
9．B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，解得，
所以
由题意可知，，
所以.
故选：B.
10．D
【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果.
【详解】
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以其斜率，
所以，解得，
所以点P横坐标的取值范围为，
故选：D.
11．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
12．A
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为.
故选：A
13．D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
14．C
【分析】代入法求得，以及利用导数的四则运算法则求得进一步求得即可得解.
【详解】由题意知，，
∴曲线在处的切线的斜率为，
∴曲线在处的切线方程为，且.
故选：C．
15．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
16．
【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得.
【详解】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故答案为：.
17．
【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围，根据斜率与倾斜角的关系可求的取值范围.
【详解】，
当时，，故，
因为，故，
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线倾斜角的范围的计算，一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．若倾斜角，则，当时，斜率不存在．
18．
【分析】先对已知关系式求导，然后令，求出，从而得到，然后根据解析式的特点，选择用基本不等式求最值，从而得到结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，
所以的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.
故答案为：.
19．或
【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.
【详解】设切点为，而，
所以切线的斜率，故切线方程为，
因为切线过点，，
化简可得或，则切点为或，
则代入得切线方程为：或，
故答案为：或.
20．
【分析】利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】设切点为，则，
，切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，所以，即，
解得，所以切线方程为.
故答案为：
21．或
【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，解出得切线方程.
【详解】，则．
设切点坐标为，则切线斜率为，
切线方程为，
代入点，得，即，解得或．
当时，切线方程为；当时，切线方程为．
故答案为：或
22．或
【分析】设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，代入切线方程即可得出所求切线的方程.
【详解】设切点为，，则切线斜率为，
故曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，解或，
故所求切线方程为或，即或.
故答案为：或.
23．
【分析】设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，最后得到直线方程.
【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为.
因为，
则公切线的斜率，所以.
因为公切线的方程为，即，
将代入公切线方程得，
由，得.
令，则，
当时，；当时，0，
故函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，
故公切线方程为，即.
故答案为：.
24．或
【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解.
【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．
故答案为：或
25．（答案不唯一）
【分析】求出函数的导函数，即可，，依题意只需满足，即可，找到一个符合题意的解析式即可.
【详解】因为，所以，
则，，依题意只需满足，即可，
不妨令，则，则，又，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）
26．或（写出一个即可）
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.
【详解】设公切线与曲线切于点，
与曲线切于点.
由，得.由，得.
令，即，则，
且，
即，
化为，
所以，解得或.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.
故答案为：或，写出任意一个即可.
27．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）（2）（3）（4）直接由导数的加减法计算即可；
（5）直接由导数的加减法及乘法计算即可；
（6）（7）直接由导数的除法计算即可；
（8）方法一：直接由导数的乘法计算即可；方法二：先去括号，再直接由导数的加法计算即可．
【详解】（1）．
（2） ．
（3） ．
（4）．
（5） ．
（6）．
（7）．
（8）方法一：
；
方法二：
，
．
28．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用复合函数求导公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）（2）根据基本初等函数的导数即可求解，（3）（4）（6）根据基本初等函数的导数和导数的四则运算即可求解，（5）根据复合求导法则即可求解.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）令，
令，则
（6）
30．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数的导数公式求解，另外（6）还用了切换弦，（7）还用了半角公式.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）．
（6），则
（7），则．
（8）