(新高考)高考数学一轮复习过关练考点21 空间几何体的面积与体积 （含解析）

考点21  空间几何体的面积与体积  

1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深 .

2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化 .

3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比

立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。在全国其他地区还考查给出三视图求几何体的面积与体积的问题。

从近几年各地高考试题可以发现几何体主要考查 柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。

把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础 . 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图 . 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题 . 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式 . 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解 .

1、【2020年江苏卷】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

【答案】

【解析】正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

2、【2020年全国1卷】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

3、【2020年全国1卷】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，

得，为等边三角形，

由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的表面积.

故选：A

4、【2020年全国2卷】.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

设球的半径为，则，解得：.

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，

，解得：，，

球心到平面的距离.

故选：C.

5、【2020年全国3卷】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

【答案】

【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中，且点M为BC边上的中点，

设内切圆的圆心为，

由于，故，

设内切圆半径为，则：

，

解得：，其体积：.

故答案为：.

6、【2020年天津卷】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即，

所以，这个球的表面积为.

故选：C.

7、【2020年山东卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A. 20° B. 40°

C. 50° D. 90°

【答案】B

【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..

由于，所以，

由于，

所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.

故选：B

8、【2020年浙江卷】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．

【答案】

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则

，解得.

故答案为：

9、【2020年山东卷】.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

【答案】.

【解析】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，

因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，

又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，

因为，所以侧面，

设为侧面与球面的交线上的点，则，

因为球的半径为，，所以，

所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，

因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，

因为，所以，

所以根据弧长公式可得.

故答案为：.

10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，

，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即，故选D．

解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，

又，，

中，由余弦定理可得，

作于，

，为的中点，，，

，，

又，两两垂直，

，，，故选D.

11、【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是

A．158 B．162   

C．182 D．324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.

故选B.

12、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，

平面与线所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理，平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间，且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

13、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A．        B．

C．        D．

【答案】B

【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，

当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，

，,点M为三角形ABC的重心，，

中，有，，

，故选B.

题型一  柱的表面积与体积

1、（2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题）正四棱柱中，，，则以、、、为顶点的四面体的体积为___________.

【答案】

【解析】如图所示：

四面体的体积等于正四棱柱的体积减去四个三棱锥的体积，

即

故答案为：

2、（2020届清华大学附属中学高三第一学期10月月考）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.

【答案】

【解析】

过点作平面，垂足为，

 则点在线段上，连接,

 在中，，

 在平面内过点作，垂足为，则，即到直线的最短距离为，

 又，当时，此时,

 所以.

3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

【答案】

【解析】由题得，，得.

故答案为：

4、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为____.

【答案】4.

【解析】根据题意球圆锥，设圆柱铁器的高为
整理得，
解得.
故答案为：4.

5、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．

【答案】       

【解析】

（1）因为，所以该六面体的表面积为.

（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，

每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是.

由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，

所以，

所以球的体积.

故答案为： ；.

5、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.

【答案】54

【解析】由题意知，正四棱柱的高为＝6，所以它的体积V＝32×6＝54，故答案为54.

6、(2019常州期末） 已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．

【答案】  　

【解析】设圆锥底面半径为2r，高为2h，则圆柱底面圆半径为r，高为h，所以＝＝.

7、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．

【答案】  2π　

【解析】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝，0<r<1.圆柱的侧面积为S＝2πrl＝2πr＝4π≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取“＝”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.

8、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为   ▲   ．

【答案】

【解析】依题意有：a×b×1＝2，所以，ab＝2，

设新长方体高为h，则（a＋1）（b＋2）h＝2，化简为：h＝，

当且仅当2a＝b，即时，h有最大值为.

题型二  锥的表面积与体积

1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【解析】

因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，

到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:,解得:

2、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC  A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1  BB1C1 的体积为______.

【答案】

【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形

又因为,则三棱柱各棱长均为2,

则,

故答案为：

3、（2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）在正三棱柱ABC  A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1  BB1C1 的体积为______.

【答案】

【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形

又因为,则三棱柱各棱长均为2,

则,

故答案为：

4、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积是______.

【答案】

【解析】设圆锥母线长为，则

侧面积为，故.

故圆锥的高，圆锥体积为.

故答案为：.

5、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

【答案】

【解析】设，因为三棱锥是正三棱锥，且

所以和都是边长为的等边三角形

因为为棱的中点，所以

所以，解得

因为

所以平面

所以

故答案为：

6、（2019年11月北京中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题（一卷)）如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.

【答案】

【解析】如下图所示，

延长分别交、的延长线于、，连接交于点，连接交于点，再连接、，则该截面截正方形的截面为五边形.

，则，则，，

为的中点，则，，，同理，

，，，，

在中，，则，

，

，，

所以，正方体位于截面下方的几何体体积为.

因此，较小部分几何体的体积为.

故答案为：.

7、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】

作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

8、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．

【答案】

【解析】圆锥的高为h＝＝2，圆锥的体积V＝×π×12×2＝.

9、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．

【答案】  　

【解析】先求出圆锥的底面半径和高．

设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h＝.圆锥的体积V＝Sh＝.

10、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．

【答案】　

【解析】解法1(割补法)　 设△ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V1＝VA1ABC－VMABC＝Sh－S×h＝Sh，V2＝VABCA1B1C1－VA1ABC＝Sh－Sh＝Sh，所以＝·＝.

解法2(等积转换)　V1＝VBA1MC＝VBA1AC＝VA1ABC，V2＝2VA1BC1B1＝2VBA1B1C1＝2VA1ABC，所以＝.

 计算几何体的体积一般可以选用等积转换和割补法这两种方法，要注意多观察，将所求的体积合理地转化.

11、(2019苏北三市期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．

【答案】 . 8　

【解析】：如图，在正四棱锥中，BC＝2，SO＝1，取BC的中点E，连续OE，SE，则OE＝BC＝，侧面是四个全等的等腰三角形，设侧面积为S，则S＝4S△SBC＝4··SE·BC＝2··2＝2··2＝8.所以正四棱锥的侧面积为8.

 这个题首先要弄清楚正四棱锥的定义(底面是正方形的四棱锥，顶点在底面的射影是底面正方形的中心)，弄清楚四棱锥的高SO和斜高SE，以及高和斜高之间的勾股关系(SE2＝SO2＋OE2)．

12、（北京市昌平区新学道临川学校2019--2020学年高三上学期期末）

在三棱柱中，侧面是菱形，，平面平面，为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】（1）连接．

∵平面平面，平面平面，

且，平面，

∴平面，                           

而平面，∴，

又，则有，

∵四边形是菱形，，

∴为边长为2的等边三角形，                       

∵为的中点，∴，即，

又，

∴平面.

（2）由（1）得，又，

∵平面，而平面，

∴，又，则有，

所以的面积为．   

由（1）可知平面，

三棱锥的体积

．   

题型三 球的表面积与体积

1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（     ）

A．            B．              C．             D．

【答案】B

【解析】

设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，

所以，即的近似值为，故选B.

2、（2020·河南高三期末（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A．30 B． C．33 D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，又底面，

所以球的球心为侧棱的中点，

从而球的直径为.

利用张衡的结论可得，则，

所以球的表面积为.

故选：B

3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1，，所以，球面积，故选C.

4、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______.

【答案】

【解析】由题意知,圆锥的体积为.设球的半径为

则,解得.所以表面积为.

故答案为:.

5、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．

【答案】 2

【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a＝2，面积S＝a2＝3，高h＝2.所以正三椎锥的体积V＝Sh＝2.

6、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.

【答案】 29π　

解析：根据题意，可知三棱锥PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为PA＝2，PB＝3，PC＝4，所以长方体的体对角线的长为＝，即外接球的直径2R＝，可得R＝，因此外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝29π，

 几何体的外接球问题，关键要找到球心所在的位置，进而确定半径的值，本题抓住PA，PB，PC两两垂直，将其补形成一个长方体，从而转化为长方体的外接球的问题，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法．