高考数学二轮复习第3部分思想篇素养升华第2讲分类讨论思想学案含解析

第2讲　分类讨论思想

SI XIANG FANG FA JIE DU

思想方法·解读

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．

SI XIANG FANG FA YING YONG

思想方法·应用

应用一　由概念、性质、运算引起的分类与整合

典例1　(1)(2020·江西师范附属模拟)已知函数f(x)＝ 若f(2－a)＝1，则f(a)等于(　A　)

A．－2　　 B．－1　

C．1　　 D．2

(2)(2019·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前9项和S9＝__14或26__.

【解析】　(1)①当2－a≥2，即a≤0时，22－a－2－1＝1，

解得a＝－1，

则f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；

②当2－a<2即a>0时，－log2[3－(2－a)]＝1，

解得a＝－，舍去．所以f(a)＝－2．故选A．

(2)由题意得q2＝＝9，q＝±3，

①当q＝3时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，

S9＝2＋6＋18＝26；

②当q＝－3时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，

S9＝2－6＋18＝14，所以S9＝14或26．

数学概念运算公式中常见的分类

(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．

(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．

(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．

应用二　由图形位置或形状引起的分类与整合

典例2　(1)(2020·启东中学月考)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　D　)

A．　　 B．4

C．　　 D．4或

(2)(2020·广州质检)抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为__4__.

【解析】　(1)当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，

体积V＝2×××4＝4；

当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，

体积V＝×××6＝.

(2)当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，

则有x2－2px＋y2＝0，

又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，

解得x＝0或x＝－2p，

当x＝0时，不构成三角形．

当x＝－2p(p＞0)时，与点P在抛物线上矛盾．

∴符合要求的点P有4个．

图形位置或形状的变化中常见的分类

(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论．

(2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论．

(3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差异分类讨论．

应用三　由变量或参数引起的分类与整合

典例3　(2020·南昌模拟)设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求实数m的取值范围．

【解析】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－2mx＝，

当m≤0时，f′(x)＞0，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当m＞0时，令f′(x)＞0，

则0＜x＜，

令f′(x)＜0，则x＞，

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．

(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m＞0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减．

所以f(x)max＝f＝2ln－m·＋1＝－ln m，

若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，

则f(x)max＞m－1．

即－ln m＞m－1，ln m＋m－1＜0成立，

令g(x)＝x＋ln x－1(x＞0)，

因为g′(x)＝1＋＞0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

且g(1)＝0，

所以0＜m＜1．

所以实数m的取值范围是(0,1)．

几种常见的由参数变化引起的分类与整合

(1)含有参数的不等式的求解．

(2)含有参数的方程的求解．

(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．

(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．

(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．