2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第68讲简化和避免分类讨论的途径含解析

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第68讲简化和避免分类讨论的途径分类讨论思想解题的实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”的思维策略,但有时,更应注意充分挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性,尽可能消除“讨论因素”,灵活地采用相应的解题策略,通过适当的“技术处理”,消化或避免分类讨论,往往能给解题带来事半功倍之效,避免分类讨论常见的解题策略有:直接回避、变更主元、整体考虑、反客为主、数形结合等.典型例题【例1】(1)解不等式;(2)设,函数,求当时,的取【分析】第(1)问,无理分式不等式按常规解法,必须分类讨论,通过三角换元引进参数,则无理不等式可以化为有理不等式,分式不等式也容易化为整式不等式,这是直接回避分类讨论的常用基本方法;第(2)问,绝对值问题常需分类,若能利用绝对值的性质整体考虑,也能直接回避分类讨论.【解析】(1)  设,则原不等式可化为,由此解得,故,从而原不等式的解集为.(2)当且仅当及时,.故的取值范围为. 【例2】(1)  已知,对于值域内的所有实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是________. (2)  已知函数在区间上至少存在一个实数,使得,求实数的取值范围.【分析】第(1)问,若按常规思路,将看成主元,则要分很多情况来讨论,无形之中增加了解题负担.若将看成主元,则原不等式转化为一次不等式恒成立问题,易解.可见变换主元、反客为主可以有效避免分类讨论.第(2)问,若采取正面直接求解,由于二次函数的对称轴在变动,需要分多种情况考虑,而如果考虑对立面,情况就变得简单,这就是正难则反思想,可以有效避免讨论,结合图形看,非常直观.【解析】(1),原问题转化为对任意的恒成立.当时,不等式不成立,.令即把看作关于的一次函数.问题转化为在上恒大于0,则解得或.即实数的取值范围为.(2)至少存在一个实数,使得,需要分多种情况考虑,而考虑反面的话,即对于区间上任意的实数都有,结合图形可知,只需要满足且即可,解得.取补集可得所求范围为. 【例3】(1)设偶函数定义在上,且在区间上递减,若,求实数的取值范围.(2)已知函数,定义域为,且,值域为,求的值.【分析】第(1)问,通常需要分4种情况讨论求解,要避开这场“大规模”的分类讨论,必须注意对急含条件的挖掘.把握偶函数满足这一本质整体考虑,则问题即刻变得非常简单.第(2)问,若一个数学问题的题设中还含有一些隐含条件,如果稍加留意,充分挖搔,就能避免复杂的分类讨论,从而简化解答过程,挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性,尽可能消除“讨论因素”,回避分类讨论.在本题中若没有注意到隐含条件,不在大处着眼,很容易想到分3种情况讨论区间与对称轴直线的位置关系,而实际上,区间在对称轴的右边是可确定的,所以深挖隐含条件可避免讨论.【解析】(1)为偶函数,等价于.又在上递减,,,由此解得的取值范围为.(2),因此区间必定包含在中,,即,因此区间为函数的减区间,且,是方程,即的两个解,解得,,.  【例4】已知一条曲线在轴右边,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1.(1)求曲线的方程;(2)是否存在正数,对于过点且与曲线有两个交点的任一直线,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】当直线过一定点,很容易想到直线方程为点斜式或斜截式,从而忽略斜率不存在的情况,若从题设中可以判定直线的斜率不可能为零时,则可将直线方程设为,这样,不仅避免或简化了讨论的步骤,还可以大大减少计算量,从而提高解题速度,也可以说这是一种整体考虑的解题策略,直线方程中包含了斜率存在与不存在的情况.【解析】（1）由题意知上每一点到点的距离等于到直线的距离,根据抛物线的定义,可得曲线的方程为.（2）显然,过点的直线存在垂直于轴的情况,但又不含垂直于轴的情况,因此为了避免分类,可设直线方程为,并设两点的坐标分别为,将直线方程与抛物线方程联立,消去得.恒成立(正数,由,得,,即.对任一直线,都有,故在上恒成立.,解得.可见,存在正数,对于过点且与曲线有两个交点的任一直线,都有的取值范围为.