新高考数学二轮复习 第1部分 专题4 培优点14 截面问题（含解析）

培优点14　截面问题

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．

例1　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．

解　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.

②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.

③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.

④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面．

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)

A．矩形

B．三角形

C．正方形

D．等腰梯形

答案　D

解析　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，

由题意得GH∥EF，AH∥A1F，

又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，

∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，

又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，

∴平面AHGD1∥平面A1EF，

故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．

例2　(1)(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝.故选A.

(2)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．

答案　S3<S2<S1

解析　由题意知OA，OB，OC两两垂直，可将其放置在以O为顶点的长方体中，设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，利用等体积法易得

S1＝a，S2＝b，

S3＝c，

∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)

＝c2(a2－b2)，

又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，

同理，平方后作差可得，S2>S3，

∴S3<S2<S1.

确定截面的主要依据有

(1)平面的四个公理及推论．

(2)直线和平面平行的判定和性质．

(3)两个平面平行的性质．

(4)球的截面的性质．

1．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，∴m1∥m，

又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.

故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．

而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A.

2.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案　1∶47

解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.

3．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(　　)

A．当0<CQ<时，S为四边形

B．当CQ＝时，S为等腰梯形

C．当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

D．当<CQ<1时，S为六边形

答案　ABC

解析　当Q为中点，即CQ＝时，截面APQD1为等腰梯形，故B正确；

当0<CQ<时，只需在DD1上取点M使PQ∥AM，即可得截面APQM为四边形，故A正确；

当CQ＝时，如图，延长AP交DC于M，连接MQ，并延长交C1D1于R，交DD1于N，

∵CQ＝，∴DN＝×2＝，

∴D1N＝，∴＝，

∴＝，∴D1R＝DM＝，

∴C1R＝，故C正确；

当<CQ<1时，在上图中只需将Q上移，此时截面形状仍是APQRT，为五边形，故D不正确．

4．P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．

解　作法：(1)连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.

(2)连接EF交AB于T，交AD于S.

(3)连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面．