新高考数学二轮复习 第1部分 专题5 第2讲 概率、随机变量及其分布（含解析）

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考点一 古典概型
核心提炼
古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数).
例1 (1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选去第一医院工作的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,9)
答案 D
解析 根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，9种情况，而医生甲和护士A被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P＝eq \f(1,9).
(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,21) D.eq \f(1,252)
答案 C
解析 现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n＝Ceq \\al(4,10)，
能成为两组的基本事件个数m＝Ceq \\al(2,5)，则能成为两组的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(4,10))＝eq \f(1,21).
规律方法 古典概型求解的关键点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．
(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,14) C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,18)
答案 C
解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有Ceq \\al(2,10)＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为eq \f(3,45)＝eq \f(1,15).
(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为( )
A.eq \f(5,32) B.eq \f(5,16) C.eq \f(11,32) D.eq \f(11,16)
答案 B
解析 由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：
00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111，
01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111，
10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111，
11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，
其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16).
考点二 随机变量的分布列
核心提炼
1．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
考向一 超几何分布
例2 (2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．
解 (1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有Ceq \\al(2,12)＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有Ceq \\al(2,4)＋2Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,2)＝13(种)，
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝eq \f(13,66).
(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，
因为P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,2),C\\al(2,6))＝eq \f(8,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(0,2),C\\al(2,6))＝eq \f(2,5).
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×eq \f(1,15)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,3).
跟踪演练2 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解 (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40).
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)·C\\al(3－k,7),C\\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,7),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120).
故ξ的分布列为
考向二 二项分布
例3 (2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi，为了解免费WiFi在A市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：
(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由列联表可知K2＝eq \f(200×70×40－60×302,130×70×100×100)≈2.198，
因为2.1980，
即0