新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 培优点4 洛必达法则（含解析）

培优点4　洛必达法则

洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)f(x)＝g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3)  ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则 ＝ ＝A(可连续使用)．

例　已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解　当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0；

当x>0时，由f(x)≥0得，a≤，

设g(x)＝，则g′(x)＝，

令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，

则h′(x)＝xex－ex＋1，

记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，

∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，

∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，

∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．

由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝，故a≤.

综上，实数a的取值范围是.

对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，利用洛必达法则．

已知函数f(x)＝＋，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立，求k的取值范围．

解　由题意，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立等价于k<＋1－＝＋1，

记g(x)＝＋1，

则g′(x)＝

＝；

又记h(x)＝ln x＋，

则h′(x)＝－＝>0，

所以，当x>0时，h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，

因此，当x∈(0,1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0；即当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0；

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

由洛必达法则有

g(x)＝ ＋1＝ ＋1＝0，

即当x→1时，g(x)→0.

所以当x>0且x≠1时，g(x)>0，

所以k≤0.

故所求k的取值范围是(－∞，0]．