新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 培优点2 基本不等式的综合问题（含解析）

培优点2　基本不等式的综合问题

利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．

例1　(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________________________．

(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为________．

(3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________．

答案　(1)　(2)　(3)3

解析　(1)由(x＋y)2＝xy＋1，

得(x＋y)2≤2＋1，

则x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取等号)，

故x＋y的最大值为.

(2)x·＝x·

≤·＝·

＝，

故x·的最大值为.

(3)∵2x＋(y＋1)＝[2x＋(y＋1)]

＝≥4，

∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3.

例2　记max{a，b}为a，b两数的最大值，则当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为________．

答案　10

解析　方法一　由题意知t≥x2，t≥，

∴2t≥x2＋，

又∵x2＋≥x2＋＝x2＋

≥20，∴2t≥20，即t≥10.

∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10.

方法二　由题意知t≥x2>0，t≥>0，

∴t2≥x2·，

又∵x2·≥x2·＝x2·

＝100，∴t2≥100，即t≥10.

∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10.

(1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．

(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．

1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)

A．1  B．6  C．9  D．16

答案　B

解析　∵正数a，b满足＋＝1，

∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，

∴＋＝＋

＝＋9(a－1)≥2＝6，

当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，

∴所求最小值为6.

2．(2020·厦门模拟)函数y＝＋

的最大值是________．

答案　2

解析　y2＝(＋)2

＝4＋2

≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8，

又y>0，所以0<y≤2，当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时取等号．故函数的最大值是2.

3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．

答案　4

解析　因为a>0，b>0，ab＝1，

所以原式＝＋＋

＝＋≥2＝4，

当且仅当＝，

即a＋b＝4时，等号成立．

故＋＋的最小值为4.

4．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．

答案　－2

解析　＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当＝且a<0，即a＝－2，b＝4时取等号．故当a＝－2时，＋取得最小值．