新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点10 平面向量“奔驰定理”（含解析）

培优点10　平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内， ＝，＝， ＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)

A．14∶3  B．19∶4  C．24∶5  D．29∶6

答案　B

解析　由＝，得－＝(－)，

整理得＝＋＝＋，

由＝，得＝(－)，

整理得＝－，∴－＝＋，

整理得4＋6＋9＝0，

∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.

(2)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，

∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，

又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，

∴＝－＝.

(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， ＝， ＝n，则n的值为________．

答案　

解析　因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－，

＝⇒－＝(－)⇒ ＝＋＝

－－，

＝n⇒－＝n(－)

⇒＝n＋(1－n) ，

因为P，O，Q三点共线，所以∥，

所以－(1－n)＝－n，解得n＝.

“奔驰定理”与三角形“四心”：

已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：

(1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0.

(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0.

(3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0.

备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对．

(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0.

1．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　)

A．2∶1  B．3∶2  C．3∶1  D．5∶3

答案　C

解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.

∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.

2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)

A.，  B.，  C.，  D.，

答案　A

解析　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，

即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，

整理得＝＋，故选A.

3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．

答案　

解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，

即＝2x＋2y，

平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC，

又因为点P是△ABC的外心，

所以| |＝||＝||，

且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，

(x＋y)2＝＋xy≤＋2，

解得0<x＋y≤，

当且仅当x＝y＝时取等号．

所以(x＋y)max＝.