新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点11 向量极化恒等式（含解析）

培优点11　向量极化恒等式

极化恒等式：a·b＝2－2.

变式：a·b＝－，a·b＝－.

如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2.

例　(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． ·＝4， ·＝－1，则·的值为________．

答案　

解析　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.

根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4， ·＝2－2＝n2－m2＝－1.

联立解得n2＝，m2＝.

因此·＝2－2＝4n2－m2＝.

即·＝.

(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， ·的取值范围是________．

答案　[0,2]

解析　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]．

利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．

1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)

A．∠ABC＝90°   B．∠BAC＝90°

C．AB＝AC   D．AC＝BC

答案　D

解析　如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.

根据向量的极化恒等式，

有·＝2－2，·＝2－2.

又·≥·，则| |≥||恒成立，

必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.

2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．

答案　2

解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，

则·＝2－.

因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，

当且仅当O，N，M三点共线时取等号．

所以·的最大值为2.