山东省高考数学模拟试卷(理科)

这是一份山东省高考数学模拟试卷(理科)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）
A．1B．2C．5D．6
2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　）
A．3B．4C．1D．2
3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（　　）
A．或﹣B． C．﹣D．±
4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（　　）
A．10B．9C．8D．7
5．“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（　　）

A．2B． C． D．
8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（　　）
A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π
9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8
10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（　　）
A．﹣B． C．﹣D．﹣
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是　　　　　　．

12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为　　　　　　．
13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于　　　　　　．
14．若函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值等于　　　　　　．
15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为　　　　　　．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．
（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．
（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？
（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．
18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？

19．已知数列{an}的前n项和Sn=an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，且数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．
①当|CD|=2时，求直线l的方程；
②若λ=，试求λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？
　
山东省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）
A．1B．2C．5D．6
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．
【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，
可得3=a﹣1+2，解得a=2．
故选：B．
　
2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　）
A．3B．4C．1D．2
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．
【解答】解：∵集合={2}，
∴集合A的真子集只有一个为∅．
故选：C．
　
3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（　　）
A．或﹣B． C．﹣D．±
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，
则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），
即f（a）=，
若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，
若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），
综上a的值等于或﹣，
故选：A．
　
4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（　　）
A．10B．9C．8D．7
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．
【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，
则组距为=40；
所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为
=7．
故选：D．
　
5．“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】等差关系的确定．
【分析】数列{an}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lgan+1没有意义．由数列{lgan+1}成等差数列，则（lgan+1+1）﹣（lgan+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．
【解答】解：∵数列{an}成等比数列，公比为q．∴an=．若a1＜0时，则lgan+1没有意义．
由数列{lgan+1}成等差数列，则（lgan+1+1）﹣（lgan+1）=为常数，则为非0常数．
∴“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的必要不充分条件．
故选：B．
　
6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的斜率．
【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．
【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，
∵直线l的斜率不小于1，
∴﹣≥1，即a≤﹣2，
∵且a∈[﹣5，4]，
∴﹣5≤a≤﹣2，
∴直线l的斜率不小于1的概率为=，
故选：C．
　
7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（　　）

A．2B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．
【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，
棱锥的高： =2，
∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．
故选：D．
　
8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（　　）
A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．
【解答】解：∵向量，
∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），
∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），
∵θ∈（π，2π），
∴θ﹣π∈（0，π），
∴φ=θ﹣π，
故选：C．
　
9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8
【考点】基本不等式．
【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．
【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，
∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．
∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，
∴﹣m﹣2＜8，
解得m＞﹣10，
故选：A．
　
10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（　　）
A．﹣B． C．﹣D．﹣
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．
【解答】解：由题意设===k，（k＞0），
则a=6k，b=4k，c=3k，
∴由余弦定理可得cosA=
==﹣，
∴由正弦定理可得=
===﹣，
故选：A．
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是　11　．

【考点】循环结构．
【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果
【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11
故答案为11
　
12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为　20　．
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；
若十位为0，则有C21•C21=4个；
若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．
综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，
故答案为：20．
　
13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于　﹣15　．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab即可．
【解答】解：∵|2x+a|＜b，
∴﹣b＜2x+a＜b，
∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，
∴﹣＜x＜，
由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，
则，解得：a=﹣5，b=3
则ab=﹣15，
故答案为：﹣15．
　
14．若函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值等于　﹣1　．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．
【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．
【解答】解：函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），
可知m=﹣2，n=，函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．
函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．
故答案为：﹣1．
　
15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为　\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M（3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，
抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，
由题意可得=，即p=，
=2，即b=2a①
又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，
解得x0=3，
将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②
由①②解得a=，b=2，
即有双曲线的方程为﹣=1．
故答案为：﹣=1．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．
（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．
（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．
【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin（θ+）=cosθ=，
∴可解得：cosθ=，
∵0＜θ＜，sinθ==，
∴tanθ===．
（2）∵f（x）=sin（2x﹣），
∴T==π．
∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z
∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
　
17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．
（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？
（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．
【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，
∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：
p=+=．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）=（）=，
∴中国队获得积分X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




EX==．
　
18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？

【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．
（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．
【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，
∴面ABE∥面CDF，
又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．
解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，
∵，且=λ，∴AB=（）λ，
∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），
=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），
∵直线AE与BF所成角的大小为60°，
∴cos60°==，
由λ＞0，解得λ=1，
∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．

　
19．已知数列{an}的前n项和Sn=an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，且数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由于数列{an}的前n项和Sn=an+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，Sn﹣1=an﹣1+﹣2，可得：an=an﹣an﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．
（2）bn=，可得b2n﹣1==．b2n=．即可得出．
【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和Sn=an+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．
当n≥2时，Sn﹣1=an﹣1+﹣2，可得：an=an﹣an﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，
解得an﹣1=n+1．
∴an=n+2，当n=1时也成立．
∴an=n+2．
（2）bn=，∴b2n﹣1===．
b2n==．
∴数列{bn}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．
　
20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．
①当|CD|=2时，求直线l的方程；
②若λ=，试求λ的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；
②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由题意可得e==，
a2﹣b2=c2，
将M的坐标代入椭圆方程，可得
+=1，
解得a=2，b=c=2，
即有椭圆的方程为+=1；
（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，
由弦长公式可得2=2，
解得m=±，
可得直线的方程为y=x±；
②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，
可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，
化简可得m2＜12，
由直线和圆相交的条件可得d＜r，
即有＜，即为m2＜4，
综上可得m的范围是（﹣2，2）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=﹣，x1x2=，
即有弦长|AB|=•
=•=•，
|CD|=2=，
即有λ==•=•，
由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，
即有λ≥．
则λ的取值范围是[，+∞）．
　
21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；
（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，
依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，g′（x）==，
令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，
所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，
故实数a的取值范围是a≤12；
（2）f′（x）=﹣=，
函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，
即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，
∴解得：a≥12，
由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，
于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，
=ln[]+a[]，
=ln[]+a[]，
=ln（）+a（），
=，
=3，解得a=9，但不满足a＞12，
所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．