2024年山东省实验中学高考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2024年山东省实验中学高考数学模拟试卷（5月份），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x>1}，B={x|(x+1)(x−3)0，b>0，则ab>1是lna⋅lnb>0的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=t⋅2n−1−1，则t=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp，其中Q(单位mAh)为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p=0.5，相关统计学参数R2>0.995，且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp=e(A+BM)tp经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228，B=1.3，相关统计学参数R2=0.999，且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放16天后，电容量损失量约为( )
(参考数据为：e3.222≈25.08，e3.232≈25.33，e3.265≈26.26，e3.628≈37.64)
A. 100.32B. 101.32C. 105.04D. 150.56
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN( )
A. 有且仅有1条
B. 有且仅有2条
C. 有且仅有3条
D. 有无数条
6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为△AFB的垂心，则椭圆C的离心率为( )
A. 5−12B. 12C. 22D. 32
7.已知x(x−2)7=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a8(x−1)8，则a5+a6=( )
A. −14B. 0C. 14D. −28
8.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆x2+y2=2上两点.若x1x2+y1y2=−1，则x1+x2+y1+y2的取值范围是( )
A. [− 22, 22]B. [−1,1]C. [− 2, 2]D. [−2,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若|z|=1，则z=±1或z=±i
B. 若点Z的坐标为(−1,1)，则z−对应的点在第三象限
C. 若z= 3−2i，则z的模为7
D. 若1≤|z|≤ 2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线AB交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，M(3,1)，则下列说法正确的是( )
A. x1+x2的最小值为2B. 以AF为直径的圆与y轴相切
C. |MA|+|AF|的最小值为4D. |AF|2+|BF|2的最小值为2
11.数列{an}满足a1=1，an=an−1,n4∈N*an−1+1,n4∉N*(n≥2)，bm表示{an}落在区间[2m,2m+1)的项数，其中m∈N*，则( )
A. b3=10B. 3n4≤an≤3n+34
C. k=14nak=6n2+3nD. k=12nbk=43(4n−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y= 12−csx的定义域为______.
13.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为______.
14.在三棱锥中P−ABC，AB=BC=2 2，且AB⊥BC.记直线PA，PC，PB与平面ABC所成角分别为α，β，γ，已知β=2α=60∘，当三棱锥P−ABC的体积最小时，tanγ=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=π3,∠DAC=π4,BD交AC于点E.
(1)求BD2；
(2)求AE.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−alnx+1，a∈R.
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC.
(1)证明：A1B⊥B1C；
(2)已知∠ABB1=π3，AB=AC=2，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.在l上是否存在点P，使直线A1B与平面ABP所成角的正弦值为14？若存在，求线段B1P的长度；若不存在，试说明理由.
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e= 2，P1，P2分别为其两条渐近线上的点，若满足P1P=PP2的点P在双曲线上，且△OP1P2的面积为8，其中O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C的右焦点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点M，使MA⋅MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为12，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第i(i=1,2,3,…，n−1)号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i轮挑战失败，由第i+1号同学继续挑战；
④若第i(i=1,2,3,…，n−1)号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第i轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第；轮挑战失败，由第i+1号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第n轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．
令随机变量Xn表示n名挑战者在第Xn(Xn=1,2,3,…，n)轮结束．
(1)求随机变量X4的分布列；
(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn(Yn=1,2,3,…，n)轮结束．
(ⅰ)求随机变量Yn(n∈N*,n≥2)的分布列；
(ⅱ)证明：E(Y2)