高考数学模拟试卷5套-(理科)

这是一份高考数学模拟试卷5套-(理科)，共59页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，【必做题】第25题等内容，欢迎下载使用。
高考数学模拟试卷1（理科）
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（　　）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则cosx等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（　　）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（　　）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（　　）
A．关于点（，0）对称 B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（　　）

A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（　　）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5=　　　　　　．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为　　　　　　．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为　　　　　　．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b=　　　　　　．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．














18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．














19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．


















20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．











21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．




















　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

　















[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
　












[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
　
高考数学模拟试卷1（理科）试题解析
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（　　）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简A，B，再求∁RB，A∩（∁RB）．
【解答】解：∵x2＜2x，即x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，
∴A=（0，2），
B={x|x＜}=（﹣∞，），
∴∁RB=[，+∞），
∴A∩（∁RB）=[，2），
故选：D．
　
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】化简复数方程，复数的分母实数化，再求出共轭复数，可得结果．
【解答】解：z====﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
∴复数在复平面上所对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：D．
　
3．已知，则cosx等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵，
∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣．
故选：B．
　
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程．
【解答】解：双曲线（k＜0）即为
﹣=1，
可得a=，b=，
由题意可得2=4，
解得k=﹣2，
即有双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
故选：D．
　
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，由此能求出所选2人中至少有1名女生的概率．
【解答】解：从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，
基本事件数n==15，
所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，
∴所选2人中至少有1名女生的概率：
p=1﹣=．
故选：B．
　
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（　　）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．
∴=（5，），=（1，﹣）．∴•=5×1﹣=2．
故选：A．

　
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（　　）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】判断函数的单调性，利用零点的性质，列出不等式，即可求出实数b的取值范围．
【解答】解：∵y1=2x+b单调递增，y2=log2x单调递增
∴f（x）=2x+log2x+b单调递增
又∵数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，
∴f（）＜0，f（4）＞0．
∴1﹣1+b＜0，8+2+b＞0
∴﹣10＜b＜0．
故选：A．
　
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；
故，解得：，
故“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，
故选：B
　
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（　　）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
　
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（　　）

A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形ABCD是一个边长为4的正方形，
且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，
∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，
∴EC==4，EF=FB==2，
BE===4，
∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴A={2，4，4，4，4}，
故选：D．

　
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设x=﹣c，代入椭圆方程，求得A的坐标，设出C（x，y），由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，
可设A（﹣c，），C（x，y），
由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，
可得=2，
即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣=2y，
可得x=2c，y=﹣，
代入椭圆方程可得， +=1，
由e=，b2=a2﹣c2，
即有4e2+﹣e2=1，
解得e=．
故选：A．
　
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（　　）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导函数，求得函数的单调区间，进而可求函数的最值，即可求得结论．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）=（x+1）2ex=（x2+4x+3）ex，
令f′（x）＞0，可得x＜﹣3或x＞﹣1；令f′（x）＜0，可得﹣3＜x＜﹣1
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞），单调减区间为（﹣3，﹣1）
∵k∈[﹣3，﹣1]，x1，x2∈[k，k+2]，f（﹣3）=4e﹣3，f（﹣1）=0，f（1）=4e
∴f（x）max=f（1）=4e，f（x）min=f（﹣1）=0
∴|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为4e，
故选B．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5=　0　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1，可得：1=a1+a2+a3+a4+a5，另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1．可得a1．即可得出．
【解答】解：∵x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，则1×（1﹣2）4=1=a1+a2+a3+a4+a5，
另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1×1=1．
∴a1=1．
则a2+a3+a4+a5=1﹣1=0．
故答案为：0．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为　　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，

z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，
故当B（1，1）时，z=有最小值，
z==；
故答案为：．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为　12π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．
【解答】解：由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，
连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，即∠CPH=30°，
∵CH=，
∴PC=2，
∴PD=2，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．

　
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b=　　．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理和三角形的知识化简已知条件可得A=C，a=c，由sinB=可得cosB=，由余弦定理可得b值．
【解答】解：在△ABC中，∵=，∴=，
∴sinAsinB﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，
∴sinAsinB=sinAsin2C，即sinB=sin2C，
∴sin（A+C）=sin2C，
∵＜C＜，∴A+C＞，＜2C＜π，
∴A+C=2C，即A=C，a=c，
由sinB=可得cosB=，
∴b2=2a2﹣2a2cosB=3，故b=．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，根据a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．可得13a1q=3a1（1+q+q2），解出即可得出．
（2）bn=nan=．利用“错位相减法”与等比数列的前项n和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，∵a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．
∴13a1q=3a1（1+q+q2），化为：3q2﹣10q+3=0，q＜1，解得q=．
∴an==2×．
（2）bn=nan=．
∴数列{bn}的前项n和Tn=+…+，
∴=2+…+（n﹣1）×+n×，
∴=2=2=1﹣，
∴Tn=﹣．
　
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）分别求出甲、乙两名队员的得分均值和方差，由此能求出结果．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）=（7+9+11+18+18+16+23+28）=15，
=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，
= [（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，
= [（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25，
∵甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差比乙的方差大，
∴乙同学答题相对稳定些．
（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是，，
两人失分均超过15分的概率为p1p2=，
X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P



EX=2×=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量，的坐标，设出平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得=（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于O，
由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，
又AB⊥BP，BP∩PC=P，
可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，
由BC=，AB=2，可得tan∠BAC==，
即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，
则∠AOB=90°，
即AC⊥BD，又PC⊥BD，
则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD；
（2）由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F，
可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，
则A（，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，），
则=（0，2，0），=（，1，﹣），
设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=1，x=2，
可得为=（2，0，1），
取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，
又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，
由E（﹣，，），即有=（，，）为平面ABP的一个法向量．
即有cos＜，＞===，
可得sin＜，＞==．
即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值为．

20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）设直线方程为y=x+，代入x2=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；
（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足=λ（+）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
【解答】解：（1）设直线方程为y=x+，
代入x2=2py，可得x2﹣p﹣p2=0，∴x=2p或﹣，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+=5，
∴p=2，
∴抛物线L的方程x2=4y；
（2）∵直线与圆相切，
∴=1，
∴k2=t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t
由=λ（+）=（4kλ，（4k2+2t）λ）
得C（4kλ，（4k2+2t）λ）
∵点C在抛物线x2=4y上，
∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，
∴λ=1+=1+
∵t＞0或t＜﹣3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2
∴λ的取值范围为（，1）∪（1，）．
21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【解答】解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，
∴f′（1）=b﹣a，
∴b﹣a=1﹣a，b=1，
∴f（x）=x﹣axlnx，
（1）函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，
∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥在[e，2e]上恒成立，
∵h（x）=在[e，2e]上递减，
∴h（x）的最大值是，
∴实数a的最小值是；
（2）∵g（x）==﹣ax，
∴g′（x）==﹣+﹣a，
故当=即x=e2时，g′（x）max=﹣a，
若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，
等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，
当a≥时，g（x）在[e，e2]上递减，
∴g（x）min=g（e2）=﹣ae2≤，故a≥﹣，
当0＜a＜时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，
故g′（x）的值域是[﹣a，﹣a]，
由g′（x）的单调性和值域知：
存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且满足：
x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）min=g（x0）=≤，x0∈（e，e2），
∴a≥﹣＞﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意，
综上：a≥﹣．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴=，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；
（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．
【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．
（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．
∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴=||，解得a=32或a=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，
∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，
m的范围为[﹣6，8]．
　
































高考数学模拟试卷2（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）
A．（﹣2，） B．（，+∞） C．[﹣2，） D．（﹣2，﹣）
2．设复数z1=2﹣i，z2=a+2i（i是虚数单位，a∈R），若x1x2∈R，则a等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
4．设Sn为等比数列{an}的 前n项和，a2﹣8a5=0，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．17
5．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（　　）
A．±1 B． C． D．
6．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．若（x2﹣a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（　　）
A． B． C．1 D．2
8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（　　）

A． B． C． D．
9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若•=﹣9，则λ的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，]
12．已知曲线f（x）=ke﹣2x在点x=0处的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（　　）
A．1＜x1x2＜ B．＜x1x2＜1 C．2＜x1x2＜2 D．＜x1x2＜2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）=　　　　　　．
14．执行如图的程序框图，则输出的i=　　　　　　．

15．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是　　　　　　．
16．设数列（an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+an+1=（n=1，2，3，…），则S2n+3=　　　　　　．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA）．
（1）求的值；
（2）若c=a，求角C的大小．
18．汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）
（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

21．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）求线段MG的长．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1．
（1）求曲线M的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]．
24．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
　
高考数学模拟试卷2（理科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）
A．（﹣2，） B．（，+∞） C．[﹣2，） D．（﹣2，﹣）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简集合A、B，求出A在U中的补集∁UA，再计算（∁UA）∩B．
【解答】解：全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}={x|x≥}=[，+∞），
集合B={x|y=lg（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），
∴∁UA=（﹣∞，），
∴（∁UA）∩B=（﹣2，）．
故选：A．
2．设复数z1=2﹣i，z2=a+2i（i是虚数单位，a∈R），若x1x2∈R，则a等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．
【解答】解：∵z1=2﹣i，z2=a+2i，
∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，
又z1z2∈R，
∴4﹣a=0，即a=4．
故选：C．
3．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：若a＜b，则ac2＜bc2，c=0时是不成立，因此是假命题；
命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，因此是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，
故选：C．
4．设Sn为等比数列{an}的 前n项和，a2﹣8a5=0，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．17
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2﹣8a5=0，∴=0，解得q=．
则===．
故选：B．
5．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（　　）
A．±1 B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，由c2=m2+8+6﹣2m=（m﹣1）2+13，可得m=1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．
【解答】解：由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，
由c2=m2+8+6﹣2m=（m﹣1）2+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
渐近线的斜率为±x．
故选：B．
6．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣
=﹣
=﹣cos2ωx，
∴=，解得：ω=2，
∴f（x）=﹣cos4x，
∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），
∴cos4a=0，
∴4a=kπ+，k∈Z，
当k=0时，a的最小值为．
故选：D．
7．若（x2﹣a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（　　）
A． B． C．1 D．2
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．
【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：
Tr+1=•x10﹣r•=•x10﹣2r；
令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；
令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；
所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：
﹣a=30，
解得a=2．
故选：D．
8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，
底面为边长为4的正方形如图：
其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，
PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，
在直角三角形PBE中，
PB===；
在直角三角形PCE中，
可得PC===；
又PA===5；
PD===．
几何体最长棱的棱长为．
故选：C．

9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，
要使z=y﹣x的最小值为﹣12，
即y=x﹣12，
则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，
先作出对应的图象，
由得，即C（12，0），
同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，
则12k+3=0，得k=﹣，
故选：D．

　
10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若•=﹣9，则λ的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．由题意可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），D（0，﹣3），运用向量共线的坐标表示和向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到所求值．
【解答】解：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．
由题意菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，
可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），D（0，﹣3），
BC=2BE，可得E（，），
CD=λCF，即有（﹣3，﹣3）=λ（xF﹣3，yF﹣0），
可得F（，﹣），
由•=﹣9，可得
（，）•（，﹣﹣3）=﹣9，
即有•+（﹣﹣3）=﹣9，
解得λ=3．
故选：B．

11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，]
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知设M（x，﹣），N（x，），ø代入椭圆方程，得N（b，），由α为直线ON的倾斜角，得cotα=，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．
【解答】解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，
∴M、N两点的横坐标相等，
纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，
可设M（x，﹣），N（x，），ø
代入椭圆方程得：|x|=b，得N（b，），
α为直线ON的倾斜角，tanα==，cotα=，
α∈（，]，∴1≤cotα=≤，
，∴，
∴0＜e=≤．
∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．
故选：A．
12．已知曲线f（x）=ke﹣2x在点x=0处的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（　　）
A．1＜x1x2＜ B．＜x1x2＜1 C．2＜x1x2＜2 D．＜x1x2＜2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=e﹣2x，作出y=|lnx|和y=e﹣2x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，再结合零点存在定理，可得结论．
【解答】解：f（x）=ke﹣2x在的导数为f′（x）=﹣2ke﹣2x，
在点x=0处的切线斜率为k=﹣2k，
由切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，可得﹣2k=﹣1，
解得k=，则f（x）=e﹣2x，
令g（x）=0，则|lnx|=e﹣2x，
作出y=|lnx|和y=e﹣2x的图象，
可知恰有两个交点，
设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，0＜x1＜1，x2＞1，
故有＞x2，即x1x2＜1．
又g（）=﹣＜0，
g（1）＞0，
∴＜x1＜1，
∴x1x2＞，
即有＜x1x2＜1．
故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）=　0.2　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X≥5）．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，δ2），
∴正态曲线的对称轴是x=3，
∵P（1≤X≤3）=0.3，
∴P（X≥5）=P（X≤1）=0.5﹣0.3=0.2．
故答案为：0.2．
14．执行如图的程序框图，则输出的i=　4　．

【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出i的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=100，i=1
第一次执行循环体后，S=20，i=2
不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=4，i=3
不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=，i=4
满足条件S＜1，退出循环，输出i的值为4．
故答案为：4．
15．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是　16π﹣16　．
【考点】球内接多面体．
【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=16≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出球的表面积与该四棱柱的侧面积之差．
【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=16≥2ah，
∴ah≤4，当且仅当h=a=时取等号，
∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤16，
∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=2，a=2，
∴球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是4π•22﹣16=16π﹣16．
故答案为：16π﹣16．
16．设数列（an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+an+1=（n=1，2，3，…），则S2n+3=　　．
【考点】数列的求和．
【分析】通过分组可知S2n+3表示的是以1为首项、为公比的等比数列的前n+2项和，进而计算可得结论．
【解答】解：依题意，S2n+3=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+2+a2n+3）
=1+++…+
=1+++…+
=
=，
故答案为：．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA）．
（1）求的值；
（2）若c=a，求角C的大小．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角整理化简条件式子，得出sinA和sinB的关系；
（2）用a表示b，c，使用余弦定理求出cosC．
【解答】解：（1）∵（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），
∴sinAcosC﹣3sinBcosC=3cosBsinC﹣cosAsinC，
即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC，
∴sin（A+C）=3sin（B+C），即sinB=3sinA，
∴=3．
（2）∵=3，∴b=3a．
∴cosC===．
∴C=．
18．汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．
【解答】解：（ I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为=0.6．
（ II）设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）
=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）
=
=．
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
P
0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为

Y
1
2
3
4
5
6
7
P
0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05
E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面ABEF；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】证明：（1）∵AB=1，BC=2，∠CBA=，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=1+4﹣2×2×1×=3，
则AC=，满足BC2=AB2+AC2，
即△CAB是直角三角形，
则AC⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF；
（2）建立以A为坐标原点，AB，AF，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵BE=2，AF=3，
∴C（0，0，），B（1，0，0），E（1，2，0），F（0，3，0），D（﹣1，0，），
则平面ABCD的一个法向量为=（0，1，0），
设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），
则=（1.3．﹣），=（﹣1，1，0），
则得，
令x=，则y=，z=4，即=（，，4），
则cos＜，＞===，
即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值是．

20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）
（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；
（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．
【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，
则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，
则x1=，即有d=+=3，即p=3，
则抛物线的方程为y2=6x；
（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得
k2x2+p（k2﹣2）x+=0，
由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，
x1=，x2=，
由d=2λp，可得x1+=2λp，
由+λ=，M（﹣，0），
可得x1+=λ（x2﹣x1），
即有2p=x2﹣x1=，
解得k2=．
故直线AB的斜率的平方为定值．
21．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间．
（Ⅱ）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可．
（Ⅲ）令，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．…．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，…
解f′（x）=0，得．当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…
综上，当m=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．…
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，则，则m=2．…
此时f（x）=2lnx﹣x2+2，．
令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，
则.．…
令g′（x）=0，得x=±1．列表得
x
（0，1）
1
（1，+∞）
g′（x）
+
0
﹣
g（x）
↗
极大值
↘
…
由上表知，gmax（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．…
（Ⅲ）令…
则①．
当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x≥1，g（x）≤g（1），
故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．…
②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得．
当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以当时，g（x）取得最大值．
故只需，即，
令，则，，
所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h′（1）=﹣2＜0，h′（4）=ln4﹣1＞0，以∃x0∈（1，4），h′（x0）=0，
所以h（x）在（1，x0）上单调递减，
在（x0，4）上递增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，
所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，
所以当2＜m≤8时，．
综上所述，2≤m≤8．…
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）求线段MG的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由EF为圆的切线得∠EFG=∠BAF，由垂直关系可知点A、M、G、F四点共圆，从而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE
（2）由已知及切线长定理可得，EF=EG=4，从而MG=EM﹣EG=8﹣4．
【解答】解：（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，
∴∠FGE=∠BAF，
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG，
（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=OM=4，EF2=ED•EC=48，EF=EG=4，
连接AD，则∠BAD=∠BFD，
∴MG=EM﹣EG═8﹣4．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1．
（1）求曲线M的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可得出其直角坐标方程；
（2）求出直线l的直角坐标方程，联立方程组，根据△=0，得到关于tanα的方程，解出即可．
【解答】解：（1）曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，
∴x2+2y2=1；
（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴y=tanα（x﹣），
由，得：x2+2，
即（1+2tan2α）x2﹣2tan2αx+5tan2α﹣1=0，
若直线l与曲线M只有一个公共点，
则△=﹣4（1+2tan2α）（5tan2α﹣1）=0，
解得：tanα=±，
∴α=或．
[选修4-5：不等式选讲]．
24．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
【考点】分段函数的应用；基本不等式．
【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．
（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，
即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，
由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．
即得a=1，
即+=a=1，（m＞0，n＞0），
则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．
当且仅当=，即m2=8n2时取等号，
故m+4n≥2+3成立．
高考数学模拟试卷3（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）
A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩CIS D．（M∩P）∪CIS

2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（　　）
A． B．2 C．4 D．6
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．πa2 B． C． D．5πa2
5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（　　）

A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}
7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．已知数列{an}，{bn}，满足a1=b1=3，an+1﹣an==3，n∈N*，若数列{cn}满足cn=b，则c2013=（　　）
A．92012 B．272012 C．92013 D．272013
9．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．

10．已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k≥2 D．k＞2
11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．不确定
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．）
13．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为　 　．
14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=　 　．
15．等差数列{an}前n项和为Sn．已知am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m=　 　．
16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是　 　．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．













18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．











19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．





20．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．










21．设函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．















[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．







[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016张家口模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．












[选修4-5：不等式选讲]
24．=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．








高考数学模拟试卷3（理科）试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）

A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩CIS D．（M∩P）∪CIS
【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．
【解答】解：图中的阴影部分是：
M∩P的子集，
不属于集合S，属于集合S的补集
即是CIS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁IS
故选：C．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
　
2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解： =i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
　
3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（　　）
A． B．2 C．4 D．6
【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．
【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，
而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．
故选B．
【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．
　
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．πa2 B． C． D．5πa2
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，
球的表面积为，
故选B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
　
5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（　　）

A．12π B．16π C．20π D．24π
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减可得答案．
【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，
半圆台的下底面为半径等于4，上底面为半径等于1，高为4，
半圆柱的底面为半径等于1，高为4，
∴该几何体的体积为V几何体=××π（12+1×4+42）×4﹣×π×12×4=12π．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
　
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（　　）

A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}
【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．
【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；
再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；
故，
解得：1＜a≤5，
故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．
　
7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、M共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．
【解答】解：∵抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，
∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，设点P到该抛物线准线y=﹣1的距离为d，
由抛物线的定义可知，d=|PF|，
∴|PM|+d=|PM|+|PF|≥|FM|（当且仅当F、P、M三点共线时（P在F，M中间）时取等号），
∴点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，
∵F（0，1），M（2，0），△FOM为直角三角形，
∴|FM|=，
故选B．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．
　
8．已知数列{an}，{bn}，满足a1=b1=3，an+1﹣an==3，n∈N*，若数列{cn}满足cn=b，则c2013=（　　）
A．92012 B．272012 C．92013 D．272013
【分析】本题可先等差数列{an}和等比数列{bn}的通项，再利用数列{cn}的通项公式得到所求结论．
【解答】解：∵数列{an}，满足a1=3，an+1﹣an=3，n∈N*，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．
∵数列{bn}，满足b1=3， =3，n∈N*，
∴．
∵数列{cn}满足cn=b，
∴=b6039=36039=272013．
故选D．
【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．
　
9．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可
【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行
∵kAC=，
∴﹣=1，
∴a=﹣1，
则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，
由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，
其取得最大值，最大值是=
故选：B．
【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．
　
10．已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k≥2 D．k＞2
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于k的不等式求解．
【解答】解：⊙O：x2+y2=1的圆心为：（0，0），半径为1，
∵y=x+2上存在一点P，使得过P的圆O的两条切线互相垂直，
∴在直线上存在一点P，使得P到O（0，0）的距离等于，
∴只需O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，
故，解得k≥1，
故选：A．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属中档题．
　
11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a， a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．
　
12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．不确定
【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，
∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．
∵x1＜x2，
∴x1=，x2=．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．
不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，
∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，
∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．
即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：B．

【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．）
13．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为　56　．
【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数
【解答】解：由题意可得，
∴n=8
展开式的通项=
令8﹣2r=﹣2可得r=5
此时系数为=56
故答案为：56
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．
　
14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=　　．

【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．
【解答】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，
∴=，
∴ω=．
∵当x=π时，y有最小值﹣1，
因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．
∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．
　
15．等差数列{an}前n项和为Sn．已知am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m=　10　．
【分析】利用等差数列的性质an﹣1+an+1=2an，我们易求出am的值，再根据am为等差数列{an}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴an﹣1+an+1=2an，
∵am﹣1+am+1﹣am2=0，∴2am﹣am2=0
解得：am=2，
又∵S2m﹣1=（2m﹣1）am=38，解得m=10
故答案为10．
【点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，同时利用了等差数列的前n和公式．
　
16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是　6　．

【分析】由题意可得 =+．由 ME⊥MF，可得=0，从而=．
求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．
【解答】解：由题意可得=，∴ ==+．
∵ME⊥MF，∴ =0，∴ =．
由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，
再由OM=3，可得=3cos＜，＞=6cos＜，＞，
即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，
故答案为 6．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，
属于中档题．
　
三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．
【分析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，两者相等变形即可得到结果；
（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．
【解答】解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，
在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，
∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；
（2）根据题意得：S=PAABsinA=sinA，T=PQQBsinQ=sinQ，
∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA﹣）2+，
当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
　
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；
（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，
所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，
又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），
则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），
设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，
可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．
　
19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．

【分析】（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；
（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，
因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）==．
（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）==．
（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P




∴Eξ=．
【点评】正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．
　
20．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，
则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，
于是直线OM的斜率kOM==，
即kOMk=﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点（，m），
∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
即k2m2＞9b2﹣9m2，
∵b=m﹣m，
∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，
即k2＞k2﹣6k，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，
由（1）知OM的方程为y=x，
设P的横坐标为xP，
由得，即xP=，
将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，
即l的方程为y=kx+，
将y=x，代入y=kx+，
得kx+=x
解得xM=，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，
于是=2×，
解得k1=4﹣或k2=4+，
∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
　
21．设函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据ex≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ex﹣1﹣x，f′（x）=ex﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加
（II）f′（x）=ex﹣1﹣2ax
由（I）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，
从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
从而当时，f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．

【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分线，
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，
又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，
∵AE=2，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，
∴AD=5，AB=，
∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．

【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016张家口模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．
【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．
（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，代入+即可得出．
【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．
代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：
解得：，
∴曲线C1的方程为：（φ为参数），即：．
设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）
代入得： =2R×，
∴R=1
∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．
（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，
∴+=（）+（）=．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a2+b2+c2的最小值．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（2+3+c1）2=（a+b+c）2=16，
即a2+b2+c2≥
当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．
所以a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．
　
































































高考数学模拟试卷4
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．函数f（x）=3sinxcosx的最小正周期为　　　　　　．
2．已知复数z=（2+i）i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第　　　　　　象限．
3．双曲线的离心率为　　　　　　．
4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：
成绩（分）
80分以下
[80，100）
[100，120）
[120，140）
[140，160]
人数
8
8
12
10
2
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为　　　　　　．
5．函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为　　　　　　．
6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则 λ+μ=　　　　　　．

7．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为　　　　　　．

8．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　　　　　　．
9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=，点E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为　　　　　　．
10．已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是　　　　　　．
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，且数列{}也为等差数列，则a11=　　　　　　．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是　　　　　　．
13．已知x＞y＞0，且x+y≤2，则+的最小值为　　　　　　．
14．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）对∀x∈R恒成立，则2m+a﹣b=　　　　　　．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．
（1）若•=，求△ABC的面积；
（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求 sin（B﹣A）的值．





















16．如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；
（2）DE∥平面AB1C．






17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．














18．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当AM=km时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？





19．已知函数f（x）=+（a，b，λ为实常数）．
（1）若λ=﹣1，a=1．
①当b=﹣1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；
②当b＜0时，求函数f（x）在[，]上的最大值．
（2）若λ=1，b＜a，求证：不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值．




















20．已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn=2（Sn+1﹣Sn）Sn﹣n（Sn+1+Sn）（n∈N*）．
（1）若数列{an}为等差数列，且bn=0，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1=1，a2=3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．
　














四．【选做题】本题包括21、22、23、24共1小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．

　













[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．
　















[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．
　






















[选修4-5：不等式选讲]
24．已知x，y，z都是正数且xyz=8，求证：（2+x）（2+y）（2+z）≥64．

















　
四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．
（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；
（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．









































26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

　
高考数学模拟试卷4试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．函数f（x）=3sinxcosx的最小正周期为　π　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】先利用二倍角的正弦函数公式化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．
【解答】解：由题意，函数f（x）=3sinxcosx=sin2x，
所以可得：T==π．
故答案为：π．　
2．已知复数z=（2+i）i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第　二　象限．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z=（2+i）i=﹣1+2i，则复数z在复平面上对应的点（﹣1，2）位于第二象限．
故答案为：二．　
3．双曲线的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．
【解答】解：双曲线，a=1，b=，
∴c=，
∴双曲线的离心率为e==，
故答案为：．　
4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：
成绩（分）
80分以下
[80，100）
[100，120）
[120，140）
[140，160]
人数
8
8
12
10
2
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为　0.3　．
【考点】频率分布表．
【分析】根据频率分布表，利用频率=，求出对应的频率即可．
【解答】解：根据频率分布表，得；
在这次考试中成绩在120分以上的频数是
10+2=12；
∴随机抽取一名学生，该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为
=0.3．
故答案为：0.3．　
5．函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为　（﹣∞，﹣）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得答案．
【解答】解：由，解得x．
∴函数y=ln（x2﹣2）+的定义域为（﹣∞，﹣）．
故答案为：（﹣∞，﹣）．
　
6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则 λ+μ=　　．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：∵，，
∴，
∵E为线段AO的中点，
∴，
∴，2μ=，
解得μ=，
∴λ+μ=．
故答案为：．　
7．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为　　．

【考点】程序框图．
【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．
【解答】解：模拟执行算法流程，可得
n=1，x=1
x=，n=2
不满足条件n＞5，x=，n=3
不满足条件n＞5，x=，n=4
不满足条件n＞5，x=，n=5
不满足条件n＞5，x=，n=6
满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．
故答案为：．　
8．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　3　．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】若设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为S=•x，整理得x的二次函数，能求出函数的最值以及对应的x的值．
【解答】解：如图所示，
设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为：
S=•x=12x﹣2x2=﹣2（x2﹣6x+9）+18=﹣2（x﹣3）2+18
当x=3时，S有最大值，为18；所以隔墙宽应为3．
故答案为：3．
　
9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=，点E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由PA⊥平面ABCD可得VE﹣PAB=VP﹣ABE=．
【解答】解：∵底面ABCD是矩形，E在CD上，
∴S△ABE===3．
∵PA⊥底面ABCD，
∴VE﹣PAB=VP﹣ABE==．
故答案为：．
　
10．已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是　（1，2）　．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式或分别解出它们，再求并集即可．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=1，
当x＜﹣0时，f（x）==﹣1﹣
作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，
不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为，
∴或，
解得≤x＜2或1＜x＜，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
　
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，且数列{}也为等差数列，则a11=　63　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1=3，且数列{}也为等差数列，可得=+，即=+，解出d，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=3，且数列{}也为等差数列，
∴=+，
∴=+，
化为d2﹣12d+36=0，
解得d=6，
则a11=3+10×6=63．
故答案为：63．
　
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是　[，2）　．
【考点】圆的切线方程．
【分析】考虑特殊位置，即可求出线段PQ的取值范围．
【解答】解：由题意，A在坐标原点时，sin∠POC=，∴cos∠POC=，
∴sin∠POQ=，
∴sin∠PCQ=，
∴cos∠PCQ=﹣，
∴PQ==，
A在x轴上无限远时，PQ接近直径2，
∴线段PQ的取值范围是[，2），
故答案为：[，2）．　
13．已知x＞y＞0，且x+y≤2，则+的最小值为　　．
【考点】基本不等式．
【分析】由条件可得x+3y＞0，x﹣y＞0，[（x+3y）+（x﹣y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．
【解答】解：由x＞y＞0，可得x+3y＞0，x﹣y＞0，
[（x+3y）+（x﹣y）]（+）=5++
≥5+2=9，
可得+≥
=≥．
当且仅当2（x﹣y）=x+3y，即x=5y=时，取得最小值．
故答案为：．　
14．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）对∀x∈R恒成立，则2m+a﹣b=　　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求出a﹣b=0即可．
【解答】解：∵f（x）≥mxf′（x），
∴（x﹣a）（x﹣b）2≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，
∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．
若m≠，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种
情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．
∴m=，
∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．
若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0，（舍）
若a+2b≠0，则 x1=b，x2=，且 b=．
∵b≠0，则=1，∴a=b，即a﹣b=0且b＜0．
综上可得，m=，a﹣b=0，
∴2m+a﹣b=，
故答案为：．　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．
（1）若•=，求△ABC的面积；
（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求 sin（B﹣A）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用•=，求出ab的值，然后求解△ABC的面积．
（2）通过∥，求出tanB的值，推出B，转化sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣），利用两角和与差的三角函数求解即可．
【解答】解：（1）由•=，得abcosC=．
又因为cosC=，所以ab==． …
又C为△ABC的内角，所以sinC=． …
所以△ABC的面积S=absinC=3． …
（2）因为∥，所以2sincos=cosB，即sinB=cosB． …
因为cosB≠0，所以tanB=．
因为B为三角形的内角，所以B=． …
所以A+C=，所以A=﹣C．
所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）
=sinC﹣cosC=×﹣×
=． …　
16．如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；
（2）DE∥平面AB1C．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到AC⊥平面CC1B1 B，再由线面垂直的性质得到AC⊥BC1，进一步利用菱形的性质得到B1C⊥BC1，利用线面垂直的判定定理可证；
（2）取AA1的中点，连接DF，EF，分别判断EF，DF与平面平面AB1C平行，得到面面平行，利用面面平行的性质可证．
【解答】解：（1）∵四边形A A1 C1C为矩形，∴AC⊥CC1，
又平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，CC1B1 B∩A A1 C1C=CC1，
∴AC⊥平面CC1B1 B，
∵BC1⊂平面CC1B1 B，
∴AC⊥BC1，
∵四边形CC1B1 B为菱形，∴B1C⊥BC1，
又B1C∩AC=C，AC⊂平面A1C，B1C⊂平面AB1C，
∴BC1⊥平面AB1C；
（2）取AA1的中点，连接DF，EF，
∵四边形A A1 C1C为矩形，E，F分别是C1C，AA1的中点，
∴EF∥AC，又EF⊄平面平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
∴EF∥平面AB1C，
又D，F分别是A1 B1和AA1的中点，
∴DF∥A B1，
又DF⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，
∴DF∥平面AB1C，
∵EF∩DF=F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面AB1C，
∵DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面AB1C．
　
17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）利用=， =2，及其b=，解出即可得出．
（2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）．可得kAP，直线AP的方程为y=x+1．令y=0，解得m．同理可得n．再利用（x1，y1）在椭圆+y2=1上，即可得出mn．
解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，令y=0，得m．联立，解得P，则可得Q点的坐标．可得kAQ，可得直线AQ的方程，可得n，即可得出．
【解答】解：（1）∵=， =2，
解得a=，c=1，
∴b==1．
故椭圆的方程为+y2=1．
（2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）．
∵kAP==，
∴直线AP的方程为y=x+1．
令y=0，解得m=﹣．
∵kAQ==﹣，
∴直线AQ的方程为y=﹣x+1．
令y=0，解得n=．
∴mn=﹣×=．
又∵（x1，y1）在椭圆+y2=1上，
∴=1，即1﹣=，
∴mn=2．
∴以mn为常数，且常数为2．
解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，
令y=0，得m=﹣．
联立
消去y，得（1+2k2）x2+4kx=0，解得xA=0，xP=﹣，
∴yP=k×xP+1=，
则Q点的坐标为（﹣，﹣）．
∴kAQ==，
故直线AQ的方程为y=x+1．
令y=0，得n=﹣2k，
∴mn=（﹣）×（﹣2k）=2．
∴mn为常数，常数为2．
18．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当AM=km时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？

【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）证明△OAN为正三角形，可得△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km；
（2）设∠AOM=θ，在△AOM和△AON中使用正弦定理求出OM，ON，得出△OMN 的面积关于θ的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值．
【解答】解：（1）∵OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6．
在△OAM中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2﹣2OA•AM•cosA=．
∴OM=．
由正弦定理得：，即，
∴sin∠AOM=．∴A=30°．
∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°．
∴△OAN是等边三角形．
∴△OAN的周长C=3OA=9．
∴防护网的总长度为9km．
（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°﹣θ，∠ONA=90°﹣θ．
在△OAM中，由正弦定理得，即==．
∴OM=，
在△AON中，由正弦定理得，即=，
∴ON=，
∴S△OMN===．
∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为=km2．　
19．已知函数f（x）=+（a，b，λ为实常数）．
（1）若λ=﹣1，a=1．
①当b=﹣1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；
②当b＜0时，求函数f（x）在[，]上的最大值．
（2）若λ=1，b＜a，求证：不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式写出切线方程，利用导数求出函数在定区间的最大值；
（2）根据一元二次不等式与二次函数的关系，通过分类讨论两根得出结论．
【解答】解 （1）①当b=﹣1时，f（x）=﹣=，则f′（x）=，可得f′（）=﹣4，
又f（）=2，故所求切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣10=0．
②当λ=﹣1时，f（x）=﹣，
则f′（x）=﹣+=．
因为b＜0，则b﹣1＜0，且b＜＜
故当b＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）在（b，）上单调递增；
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（，）单调递减．
（Ⅰ）当≤，即b≤﹣时，f（x）在[，]单调递减，所以[f（x）]max=f（）=；
（Ⅱ）当＜＜，即﹣＜b＜0时，[f（x）]max=f（）=．
综上所述，[f（x）]max=
（2）f（x）≥1即+≥1．…（*）
①当x＜b时，x﹣a＜0，x﹣b＜0，此时解集为空集．
②当a＞x＞b时，不等式（*）可化为 （x﹣a）+（x﹣b）≤（x﹣a）（x﹣b），
展开并整理得，x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0，
设g （x）=x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b），
因为△=（a﹣b）2+4＞0，所以g （x）有两不同的零点，设为x1，x2（x1＜x2），
又g （a）=b﹣a＜0，g （b）=a﹣b＞0，且b＜a，
因此b＜x1＜a＜x2，
所以当a＞x＞b时，不等式x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0的解为b＜x≤x1．
③当x＞a时，不等式（*）可化为 （x﹣a）+（x﹣b）≥（x﹣a）（x﹣b），
展开并整理得，x2﹣（a+b+2）x+（ab+a+b）≤0，
由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2
综上所述，f（x）≥1的解构成的区间为（b，x1]∪（a，x2]，
其长度为（x1﹣b）+（x2﹣a）=x1+x2﹣a﹣b=a+b+2﹣a﹣b=2．
故不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值2．　
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn=2（Sn+1﹣Sn）Sn﹣n（Sn+1+Sn）（n∈N*）．
（1）若数列{an}为等差数列，且bn=0，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1=1，a2=3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．
【考点】数列递推式；等比数列的性质．
【分析】（1）由bn=2（Sn+1﹣Sn）Sn﹣n（Sn+1+Sn）（n∈N*），得bn=2an+1Sn﹣n（2Sn+an+1），由bn=0，得﹣a1d﹣a1=0对一切n∈N*都成立，由此能求出an=0或an=n．
（2）由题意得，， =4×2n﹣4，从而推导出b2n﹣b2n﹣1=，设f（n）=2n[]+8，记g（n）=，则g（n+1）﹣g（n）=，由此能求出满足条件的正整数n的集合．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an+1=a1+nd，，
由bn=2（Sn+1﹣Sn）Sn﹣n（Sn+1+Sn）（n∈N*），
得bn=2an+1Sn﹣n（2Sn+an+1），
∵bn=0，∴对一切n∈N*都成立，
即﹣a1d﹣a1=0对一切n∈N*都成立，
令n=1，n=2，解得a1=d=0或a1=d=1，
经检验，符合题意，
∴an=0或an=n．
（2）由题意得，，
=4×2n﹣4，
S2n+1=S2n+a2n+1=4×2n﹣4+2n=5×2n﹣4，
b2n=2a2n+1S2n﹣2n（2S2n+a2n+1）
=2×2n×（4×2n﹣4）﹣2n（8×2n﹣8+2n）
=2n+1（2n+2﹣9n﹣4）+16n，
b2n﹣1=2a2nS2n﹣1﹣（2n﹣1）（2S2n﹣1+a2n）
=6×2n﹣1×（5×2n﹣1﹣4）﹣（2n﹣1）（10×2n﹣1﹣8+3×2n﹣1）
=2n﹣1（30×2n﹣1﹣26n﹣11）+16n﹣8，
b2n﹣b2n﹣1=2n+1（2n+2﹣9n﹣4）+16n﹣[2n﹣1（30×2n﹣1﹣26n﹣11）+16n﹣8]
=
=，
设f（n）=，即f（n）=2n[]+8，
记g（n）=，
则g（n+1）﹣g（n）=
=，
当n=1，2，3时，g（n+1）﹣g（n）＜0，
当n∈N*时，n≥4，g（n+1）﹣g（n）＜0，
∵n=1时，g（1）=﹣＜0，∴g（4）＜0，且g（6）=﹣＜0，g（7）=＞0，
∴f（n）=在n≥7（n∈N*）时，是单调递增函数，
f（1）=﹣5＜0，f（2）=﹣34＜0，f（3）=﹣100＜0，f（4）=﹣224＜0，
f（5）=﹣360＜0，f（6）=﹣24＜0，f（7）=3400＞0，
∴满足条件的正整数n的集合为{1，2，3，4，5，6}．
四．【选做题】本题包括21、22、23、24共1小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】由已知条件由切割线定理得CA2=CE•CD，利用C为线段AB的中点推导出BC2=EC•DC，得到△BCE∽△DCB，利用三角形相似的性质得到证明．
【解答】证明：∵直线AB，直线CDE分别是⊙O的切线和割线，
∴由切割线定理得CA2=CE•CD，
∵C为线段AB的中点
∴BC2=CA2，
∴BC2=CE•CD，
在△BCE和△DCB中，
∵∠BCE=∠DCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴∠CBE=∠BDE．
22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=
（1）求a，b的值；
（2）求A的特征值．
【考点】特征向量的定义；逆矩阵的意义．
【分析】（1）利用矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=，建立方程组，求a，b的值；
（2）确定A的特征多项式，可求A的特征值．
【解答】解：（1）因为AA﹣1===，
所以
解得a=1，b=﹣． …
（2）由（1）得A=
则A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．
令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．由直线l代入抛物线方程可得=0，解得t即可得出．
【解答】解：由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．
由直线l代入抛物线方程可得=0，
解得t=0或﹣．
∴|AB|=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知x，y，z都是正数且xyz=8，求证：（2+x）（2+y）（2+z）≥64．
【考点】不等式的证明．
【分析】利用基本不等式，即可证明结论．
【解答】证明：因为x为正数，所以2+x≥2，
同理2+y≥2，2+z≥2，
所以（2+x）（2+y）（2+z）≥2•2•2=8
因为xyz=8，所以（2+x）（2+y）（2+z）≥8
四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．
（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；
（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．
（1）获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用独立重复试验求得概率；
（2）由ξ=|X﹣Y|，可得ξ的可能取值为1，3，5，同样利用独立重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望．
【解答】解：这5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率为，B奖品的概率为．
（1）要获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，则A奖品的人数可能为3，4，5，则
则所求概率为；
（2）ξ的可能取值为1，3，5，
则，
，
，
∴ξ的分布列是：
ξ
1
3
5
P



故随机变量ξ的数学期望E（ξ）=+5×=．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；
（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．
【解答】解：（1）由题设知，，即，
所以抛物线的方程为y2=x；
（2）因为函数的导函数为，
设A（x0，y0），则直线MA的方程为，
因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．
联立，解得A（16，﹣4），
所以直线OA的方程为．
设直线BC方程为y=kx﹣2，
由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，
所以．
由，得．
所以，
故的为定值2．
　
















高考数学模拟试卷5
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于　　　　　　．
2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=　　　　　　．
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为　　　　　　．

4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是　　　　　　．

5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是　　　　　　．
6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　．
7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是　　　　　　．

8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于　　　　　　．
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是　　　　　　．

10．若曲线：y=ax+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　　　．
11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=　　　　　　．
12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为　　　　　　．
13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是　　　　　　．
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为　　　　　　．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．



































16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．

















17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．







18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．
（1）求椭圆C方程；
（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．




















19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．
















20．对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{cn}是“M类数列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，判断数列{an}，{bn}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若数列{an}是“M类数列”，则数列{an+an+1}、{an•an+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列{an}满足：a1=1，an+an+1=3•2n（n∈N*），设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的表达式，并判断{an}是否是“M类数列”．
　

















选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)
21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．

　









[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．
（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．
　



















[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
　













[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
　





















解答题
25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
















26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*．
（1）求an；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使bn=（1+）（1+） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．
　
高考数学模拟试卷5试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于　{1，3，4}　．
【考点】补集及其运算．
【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．
【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；
故答案为：{1，3，4}．
2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=　　．
【考点】复数求模．
【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．
【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，
∴，解得b=﹣4．
则|1+bi|=|1﹣4i|==．
故答案为：．
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为　100　．

【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．
【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，
∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，
∴n的值=；
故答案100．
4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是　5　．

【考点】循环结构．
【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．
【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1
第二个输出的数字是1+2=3
第三个输出的数字是3+2=5
故答案为：5
　
5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．
【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，
基本事件总数n==10，
选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，
∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：
p=1﹣=．
故答案为：．
　
6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　[﹣16，0]　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．
【解答】解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，
即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，
即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，
故实数a的取值范围为[﹣16，0]．
故答案为：[﹣16，0]．
　
7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是　y=2sin（x+）　．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．
【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），
∵点（0，1），在函数的图象上，
∴2sinφ=1，解得：sinφ=，
∴利用五点作图法可得：φ=，
∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，
∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，
解得：ω=﹣，k∈Z，
∵ω＞0，
∴当k=0时，ω=，
∴y=2sin（x+）．
故答案为：y=2sin（x+）．
　
8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于
　　．

【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．
【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；
则：，设P（x，y），；
∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；
∴；
∴；
设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；
由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；
∴α+β的最大值是．
故答案为：．
　
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是　　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．
【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，
因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，
连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，
又根据B1F平行且等于BD，所以=，
所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，
所以V1=×BB1，
而V2=×BB1，
所以=．
故答案为：．

　
10．若曲线：y=ax+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　e2　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．
【解答】解：y=ax+1的导数为y′=axlna，
即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，
由于切线与直线x+2y+1=0垂直，
则lna•（﹣）=﹣1，
解得a=e2，
故答案为：e2．
　
11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=　　．
【考点】基本不等式．
【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求
【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，
∴5xy=4x2+4y2﹣5，
又∵2xy≤x2+y2
∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）
设 S=x2+y2，
4s﹣5≤s
∴s即
∵x2+y2≥﹣2xy
∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5
∴xy
∴﹣xy
∴S=x2+y2≥﹣2xy
∴
∴+==
故答案为：
　
12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为　[，+∞）∪{}　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t2，
若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，
当t≥1时，2t2=2t2成立，
即t≥1或t=，
若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，
由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，
若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，
∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，
由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，
综上≤a＜1或a≥1．即a≥．
综上可得a的范围是a≥或a=．
故答案为：[，+∞）∪{}
　
13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是　（0，）　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．
【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（ x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．
故答案为：（0，）．
　
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为　{}　．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．
【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则
∵后三项依次成公比为q的等比数列
∴，
整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，
则d可能为24，26，28，
当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；
所以q的所有可能值构成的集合为．
故答案为
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．
（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．
【解答】解：（1）∵，从而．
又∵，∴． …
利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，
解得． …
（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴． …
∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…
==． …
　
16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．

【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；
（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．
【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴BCC1B1是矩形．
∵D，E分别为AB1，CC1的中点，
∴，
∴是平行四边形，∴DE∥GC．
∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．

（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC
又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC1B1
AF⊥平面BCC1B1，
在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，
∴BC=2，
∴

　
17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，
∴13=16+AE2﹣2×，
∴AE=1或3；
（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．
在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；
在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S△CEF==，
∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，
∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．
　
18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．
（1）求椭圆C方程；
（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e==，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为： x．（k≠0）．联立，解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：xD，yD．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，
∴=1，又e==，a2=b2+c2，
联立解得a=2，b=1，c=．
∴椭圆C的方程为=1．
（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为： x．（k≠0）．
联立，解得=， =．
∴|EF|2=4（+）=．
同理可得：xD=，yD=．
|OD|2=．
设△DEF的面积=S．
∴S2==××==f（k），
令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，
当且仅当t=8，k=﹣时取等号．
∴△DEF的面积存在最小值．
此时D．
　
19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为
（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；
（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；
（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．
【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．
（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；
（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．
∴f（x）的单调增区间为（0，）；
综上所述：
当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；
（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2
得 （ x＞0），
当a≥0时，恒有F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＜0时，令F′（x）=0，得，
x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，
x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．
∴．
F（x）无极小值．
综上所述：
a≥0时，F（x）无极值，
a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；
（Ⅲ）证明：，
又，
∴g′（x0）=，
要证k＞g′（x0），即证，
不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，
设，即证：，
也就是要证：，其中t∈（1，+∞），
事实上：设 t∈（1，+∞），
则=，
∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．
　
20．对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{cn}是“M类数列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，判断数列{an}，{bn}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若数列{an}是“M类数列”，则数列{an+an+1}、{an•an+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列{an}满足：a1=1，an+an+1=3•2n（n∈N*），设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的表达式，并判断{an}是否是“M类数列”．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）运用 M类数列定义判断，
（2）{an}是“M类数列”，得出an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，求解an+1+an+2，an+1an+2的式子，结合定义判断即可
（3）整体运用an+an+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，Sn=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，Sn=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出Sn，再运用反证法证明即可．
【解答】解：（1）因为an+1=an+2，p=1，q=2是“M类数列”，
bn+1=2bn，p=2，q=0是“M类数列”．
（2）因为{an}是“M类数列”，所以an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，
所以an+1+an+2=p（an+1+an+2）+2q，因此，{an+an+1}是“M类数列”．
因为{an}是“M类数列”，所以an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，
所以an+1an+2=p2（anan+1）+pq（an+an+1）+q2，
当q=0时，是“M类数列”；
当q≠0时，不是“M类数列”；
（3）当n为偶数时，Sn=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，
当n为奇数时，Sn=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，
所以Sn=．
当n为偶数时an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，
当n为奇数时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），
所以an=
假设{an}是“M类数列”，
当n为偶数时，an+1=2n+1﹣1=pan+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，
当n为奇数时，an+1=2n+1+1=pan+q=p（2n﹣1）+q，
p=2，q=3，
得出矛盾，所以{an}不是“M类数列”．
　
选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)
21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
【解答】（1）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．
∴AD∥EC．
（2）解：如图，
∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
PA=AC﹣PC=6，
即62=PB•（PB+9），
∴PB=3．
在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．
∴PE=4．
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，
∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．

　
[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．
（Ⅰ）写出矩阵M、N；
（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；
（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；
（Ⅱ）由（I）得，
由=，
得，
由题意得x′=y′得3x=﹣2y，
∴直线l的方程为3x+2y=0．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．
由，得，即，
∴，即．
化为标准方程得：．
圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=，
∴x+y的取值范围是．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）
当，∴x＜﹣5
当，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2
综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．
（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，
则只需，
综上所述．
　
解答题
25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，
设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），
则，（i=0，1，2，3，4），
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，
P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，
P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，
P（X=4）=P（A2）==，
∴X的分布列为：
X
0
3
4
P



∴EX==．
　
26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*．
（1）求an；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使bn=（1+）（1+） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．
【考点】数学归纳法．
【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得an=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；
（2）先计算b2，b3的值，代入bn=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得an=++…+=1﹣．…
（2）计算得b2=，b3=．
代入bn=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1． …
下面用数学归纳法证明bn=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：
①当n=2时，b2=，结论成立．
②设n=k时成立，即bk=﹣+×．
则当n=k+1时，bk+1=bk+=﹣+×+﹣=﹣+×．
由①②可得结论成立．　　　 …