高考数学模拟试卷五套(理科)

这是一份高考数学模拟试卷五套(理科)，共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考数学模拟试卷一（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）
A．1B．2C．5D．6
2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　）
A．3B．4C．1D．2
3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（　　）
A．或﹣B． C．﹣D．±
4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（　　）
A．10B．9C．8D．7
5．“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（　　）

A．2B． C． D．
8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（　　）
A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π
9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8
10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（　　）
A．﹣B． C．﹣D．﹣
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是　　　　　　．

12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为　　　　　　．
13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于　　　　　　．
14．若函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值等于　　　　　　．
15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为　　　　　　．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．
（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．





















17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．
（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？
（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．



















18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？








19．已知数列{an}的前n项和Sn=an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，且数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．









































20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．
①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．









































21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？
　
高考数学模拟试卷一（理科）试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）
A．1B．2C．5D．6
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．
【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，
可得3=a﹣1+2，解得a=2．
故选：B．
　
2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　）
A．3B．4C．1D．2
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．
【解答】解：∵集合={2}，
∴集合A的真子集只有一个为∅．
故选：C．
　
3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（　　）
A．或﹣B． C．﹣D．±
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，
则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），
即f（a）=，
若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，
若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），
综上a的值等于或﹣，
故选：A．
　
4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（　　）
A．10B．9C．8D．7
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．
【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，
则组距为=40；
所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为
=7．
故选：D．
　
5．“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】等差关系的确定．
【分析】数列{an}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lgan+1没有意义．由数列{lgan+1}成等差数列，则（lgan+1+1）﹣（lgan+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．
【解答】解：∵数列{an}成等比数列，公比为q．∴an=．若a1＜0时，则lgan+1没有意义．
由数列{lgan+1}成等差数列，则（lgan+1+1）﹣（lgan+1）=为常数，则为非0常数．
∴“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的必要不充分条件．
故选：B．
　
6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的斜率．
【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．
【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，
∵直线l的斜率不小于1，
∴﹣≥1，即a≤﹣2，
∵且a∈[﹣5，4]，
∴﹣5≤a≤﹣2，
∴直线l的斜率不小于1的概率为=，
故选：C．
　
7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（　　）

A．2B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．
【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，
棱锥的高： =2，
∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．
故选：D．
　
8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（　　）
A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．
【解答】解：∵向量，
∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），
∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），
∵θ∈（π，2π），
∴θ﹣π∈（0，π），
∴φ=θ﹣π，
故选：C．
　
9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8
【考点】基本不等式．
【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．
【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，
∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．
∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，
∴﹣m﹣2＜8，
解得m＞﹣10，
故选：A．
　
10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（　　）
A．﹣B． C．﹣D．﹣
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．
【解答】解：由题意设===k，（k＞0），
则a=6k，b=4k，c=3k，
∴由余弦定理可得cosA=
==﹣，
∴由正弦定理可得=
===﹣，
故选：A．
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是　11　．

【考点】循环结构．
【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果
【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11
故答案为11
　
12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为　20　．
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；
若十位为0，则有C21•C21=4个；
若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．
综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，
故答案为：20．
　
13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于　﹣15　．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab即可．
【解答】解：∵|2x+a|＜b，
∴﹣b＜2x+a＜b，
∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，
∴﹣＜x＜，
由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，
则，解得：a=﹣5，b=3
则ab=﹣15，
故答案为：﹣15．
　
14．若函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值等于　﹣1　．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．
【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．
【解答】解：函数f（x）=ax+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），
可知m=﹣2，n=，函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．
函数g（x）=logn（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．
故答案为：﹣1．
　
15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为　\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M（3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，
抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，
由题意可得=，即p=，
=2，即b=2a①
又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，
解得x0=3，
将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②
由①②解得a=，b=2，
即有双曲线的方程为﹣=1．
故答案为：﹣=1．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．
（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．
（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．
【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin（θ+）=cosθ=，
∴可解得：cosθ=，
∵0＜θ＜，sinθ==，
∴tanθ===．
（2）∵f（x）=sin（2x﹣），
∴T==π．
∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z
∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
　
17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．
（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？
（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．
【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，
∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：
p=+=．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）=（）=，
∴中国队获得积分X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




EX==．
　
18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？

【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．
（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．
【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，
∴面ABE∥面CDF，
又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．
解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，
∵，且=λ，∴AB=（）λ，
∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），
=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），
∵直线AE与BF所成角的大小为60°，
∴cos60°==，
由λ＞0，解得λ=1，
∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．

　
19．已知数列{an}的前n项和Sn=an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，且数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由于数列{an}的前n项和Sn=an+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，Sn﹣1=an﹣1+﹣2，可得：an=an﹣an﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．
（2）bn=，可得b2n﹣1==．b2n=．即可得出．
【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和Sn=an+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．
当n≥2时，Sn﹣1=an﹣1+﹣2，可得：an=an﹣an﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，
解得an﹣1=n+1．
∴an=n+2，当n=1时也成立．
∴an=n+2．
（2）bn=，∴b2n﹣1===．
b2n==．
∴数列{bn}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．
　
20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．
①当|CD|=2时，求直线l的方程；
②若λ=，试求λ的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；
②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由题意可得e==，
a2﹣b2=c2，
将M的坐标代入椭圆方程，可得
+=1，
解得a=2，b=c=2，
即有椭圆的方程为+=1；
（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，
由弦长公式可得2=2，
解得m=±，
可得直线的方程为y=x±；
②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，
可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，
化简可得m2＜12，
由直线和圆相交的条件可得d＜r，
即有＜，即为m2＜4，
综上可得m的范围是（﹣2，2）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=﹣，x1x2=，
即有弦长|AB|=•
=•=•，
|CD|=2=，
即有λ==•=•，
由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，
即有λ≥．
则λ的取值范围是[，+∞）．
　
21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；
（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，
依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，g′（x）==，
令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，
所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，
故实数a的取值范围是a≤12；
（2）f′（x）=﹣=，
函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，
即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，
∴解得：a≥12，
由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，
于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，
=ln[]+a[]，
=ln[]+a[]，
=ln（）+a（），
=，
=3，解得a=9，但不满足a＞12，
所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．
　



















高考数学模拟试卷二（理科）
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的•）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（　　）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
2．已知复数z=，则对应的点在（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（　　）
A． B． C．4D．
4．下列命题中正确的是（　　）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（　　）
A．1B．2C．3D．4
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）

A．3B．4C．5D．6
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（　　）
A．±B．±C．±1D．±
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•=　　　　　　．
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于　　　　　　．
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　．
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn=　　　　　　．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．

20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
　
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

　
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
　


















高考数学模拟试卷二（理科）试题解析
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（　　）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合A，再由交集定义能求出集合A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，B={x|2＜x＜4}，
∴集合A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．
故选：D．
　
2．已知复数z=，则对应的点在（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．
【解答】解：化简可得z=
=
=
=﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，
故选：C
　
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（　　）
A． B． C．4D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故几何体的体积V==，
故选：A．
　
4．下列命题中正确的是（　　）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
B．根据函数零点的定义进行判断．
C．根据正态分布的大小进行求解．
D．根据方差的性质 进行判断．
【解答】解：A．由cosα≠0得α≠kπ+，则cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分不必要条件，故A错误，
B．由f（x）=0得ln|x|=0，z则|x|=1，即x=1或x=﹣1，即函数f（x）=3ln|x|的零点是1和﹣1，故B错误，
C．随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，
若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故C正确，
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故D错误，
故选：C
　
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（　　）
A．1B．2C．3D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知条件求出，所以该等比数列的公比为d=，由此能求出结果．
【解答】解：∵{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），
解得，
∴该等比数列的公比为d===3．
故选：C．
　
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）

A．3B．4C．5D．6
【考点】程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
　
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．

　
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由•=0得到AC⊥CB，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线AC与BD所成角的余弦值
【解答】解：∵•=0，AC=，BC=1，如图

∴AC⊥CB，
∴AC=CD=，
过点A作AE⊥CD，
在Rt△CAD和Rt△AEC，sin∠ACD===，
则AE=，CE=，
在空间四边形中，直二面角D﹣AC﹣B，
∵BC⊥AC，BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，
以C点为原点，以CD为y轴，CB为x轴，过点C与EA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
∴C（0，0，0），A（，，0），B（0，0，1），D（0，，0），
∴=（，，0），=（0，，﹣1），
∴||=， =2， •=2，
设AC与BD所成的角为θ，
则cosθ===．
故选：B．

　
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（　　）
A．±B．±C．±1D．±
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），求出圆x2+y2=5的圆心，半径r=，再求出圆心到直线l：y=k（x+2）的距离d，利用过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，由勾股定理得，由此能求出k的值．
【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），
圆x2+y2=5的圆心O（0，0），半径r=，
圆心O（0，0）到直线l：y=k（x+2）的距离d=，
∵过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，
∴由勾股定理得，
即5=+3，
解得k=±1．
故选：C．
　
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．
【解答】解：区域D：表示矩形，面积为3．
到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=
∴所求概率为P=
故选：D．

　
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
　
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．
【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．
令得x=1．
当时，f'（x）＜0；
当1＜x＜e时，f'（x）＞0；
则当x=1时，f（x）min=f（1）=1+k， =max{+1+k，e﹣1+k}=e﹣1+k，
从而可得，解得k＞e﹣3，
故选：D．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•=　9　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
　
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于　﹣270　．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．
【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，
又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，
则（﹣3）5的展开式的通项为Tr+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，
令5﹣r=2，可得r=3，
则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，
故答案为﹣270．
　
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是　﹣2≤a≤0　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】绘出函数图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．
【解答】解：绘制函数图象如图：

由图象可知：
要使f（x）≥ax﹣1恒成立，
只需函数g（x）=ax﹣1的图象恒在图象f（x）的下方，
∴a≤0，
设g（x）=ax﹣1与函数f（x）=x2﹣4x相切与点P（m，n），
∴m2﹣4m=（2m﹣4）m﹣1，
∴m=1，a=﹣2，
∴﹣2≤a≤0．
故答案为：﹣2≤a≤0．
　
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn=　\frac{1}{2}﹣\frac{1}{n+2}　．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，根据归纳推理得到数列{an}的通项公式，利用裂项法即可求出数列的前n项和．
【解答】解：当n=1时，a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3，
当n=2时，a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4，
当n=3时，a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5，
当n=4时，a5=a42﹣4a4+1=25﹣20+1=6，
则由归纳法可知an=n+1，
则bn==，
则数列{bn}的前n项和Sn=﹣=﹣，
故答案为：﹣
　
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由题意和三角函数公式化简可得cosB=，可得B=；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得b2≥，再由三角形三边关系可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B，
∴3（cosAcosC﹣sinAsinC）=2cos2B﹣2
∴3cos（A+C）=2cos2B﹣2
∴﹣3cosB=2cos2B﹣2
解得cosB=，B=；
（Ⅱ）∵a+c=1，∴由余弦定理可得
b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac
=1﹣3ac≥1﹣3（）2=，当且仅当a=c=时取等号，
∴b≥，再由三角形三边关系可得b＜a+c=1，
综合可得b的取值范围为[，1）
　
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．
（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，
所以甲班的学生人数为，
所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




．
　
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）当点M为PB的中点时，根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面ACM
（Ⅱ）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】证明：（I）设AC、BD的交点为N，连结MN，
因为M、N分别为BP、BD的中点，
所以PD∥MN，
又MN⊂平面ACM，
所以PD∥平面ACM；
（II）设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，面PCD⊥面ABCD，
所以PO⊥面ABCD，
又因为在菱形ABCD中，∠ADC=60°，
所以OA⊥CD，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（，0，0），B（，2，0），C（0，1，0），P（0，0，），
设=λ，（0＜λ＜1），
则=+=+λ=（﹣λ，1﹣2λ，λ），
=（，﹣1，0），
设平面ACM的法向量为 =（x，y，z），
由，得
令x=1，则y=，z=3﹣，即=（1，，3﹣），
又平面ABCD的法向量为==（0，0，），
所以cos＜，＞|=||==，
解得：λ=或λ=1（舍去），
所以点M为线段PB的中点．

　
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（I）求得K的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出CK=3，从而得出p=2，进而得到抛物线方程；
（II）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；
（ii）运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．
【解答】（1）解：K（﹣，0），圆C的圆心C（2，0），半径r=1．
作MR⊥x轴于R，则|CR|==．
∵KM⊥CM，∴|MR|2=|KR|•|CR|，即，
∴|KR|=，|KC|=3．
∴2+=3，解得p=2，
∴抛物线E的方程为y2=4x；
（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，
∵=，即（）2+y1y2=，
解得y1y2=﹣18或2（舍去），
即﹣4t=﹣18，解得t=．
∴直线AB恒过定点Q（，0）．
②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，
同理|GD|=•，
则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••
=4，
令m2+=μ（μ≥2），则S=4，
∴S（μ）在[2，+∞）上是增函数．
则当μ=2时，S取得最小值88．
　
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x），当x∈（0，1）时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），由此可得a+=＞，从而x1+x2＞，只要求出在[3，+∞）的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得x＞0，f′（x）=﹣﹣1
=﹣=﹣．
由f′（x）=0，得x1=，x2=a．
因为a＞1，所以0＜＜1，且a＞．
所以在区间（0，）上，f′（x）＜0；在区间（，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．
即﹣﹣1=﹣﹣1，
所以a+=+=，a∈[3，+∞）．
因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜（）2恒成立，
所以＞，又x1+x2＞0，
所以a+=＞，整理得x1+x2＞，
令g（a）=，因为a∈[3，+∞），
所以a+单调递增，g（a）单调递减，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=，
可得x1+x2＞，可得线段PQ中点横坐标的取值范围是（，+∞）．
　
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，
解得或﹣6（舍去），则．…

　
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．
【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．
直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，
|PA|==2d∈．
∴|PA|的最大值与最小值分别为，．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）由g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥﹣2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，知f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，则．由当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，知，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，
∴|x+2|≤5，
∴﹣5≤x+2≤5，
解得﹣7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥﹣2的解集为{x|﹣7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，
∴f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
则h（x）=，
∴．
∵当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，
∴，解得，
所以，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]．
　































高考数学模拟试卷三（理科）
一、选择题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（，﹣） D．（，）
2．双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
4．已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（　　）
A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，] D．[0，1]
5．已知且∥，则sin2x=（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
6．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．⊙C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=18上到直线l：x﹣y+2=0的距离为的点个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示框图，如果输入的n为6，则输出的n2为（　　）

A．16 B．5 C．4 D．25
9．△ABC中，B=60°，最大边与最小边的比为，则△ABC的最大角为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
10．已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积V的大小为（　　）

A． B．12 C．16 D．
11．若，则的展开式中的常数项（　　）
A． B． C．20 D．﹣15
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
二.填空题
13．抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是　1　．
14．经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为：经过椭圆+=1上一点P（x0，y0）的切线方程为　　．
15．从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为　99　（用数字作答）　
16．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　．
三.解答题
17．设{an}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15．
（1）求{an}通项公式；
（2）令bn=an+2n（n=1，2，3…），求{bn}的前n项和．
18．《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：
组数
分组
认同人数
认同人数占
本组人数比
第一组
[25，30）
120
0.6
第二组
[30，35）
195
p
第三组
[35，40）
100
0.5
第四组
[40，45）
a
0.4
第五组
[45，50）
30
0.3
第六组
[50，55）
15
0.3
（1）完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．
（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．

19．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．
（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．

20．椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y=0的距离为，离心率为，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=xlnx+a．
（1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；
（2）设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值；
（3）求证： , ．
选做题[几何证明选讲]
22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．

　
[极坐标与参数方程]
23．（2016商洛模拟）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．
　
[不等式选讲]
24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．


高考数学模拟试卷三（理科）试题解析
一、选择题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（，﹣） D．（，）
【分析】化简复数，它在复平面内的对应点为（0，1），由此求得结果．
【解答】解：复数===﹣i，它在复平面内的对应点为（0，﹣1），
故选A．
【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
　
2．双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式e=，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线的a=1，b=，
可得c==2，
即有e==2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．
　
3．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
　4．已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（　　）
A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，] D．[0，1]
【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），
由N中+y2=1，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，
则M∩N=[0，]．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
　
5．已知且∥，则sin2x=（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵∥，
∴cosx+2sinx=0，
∴tanx=﹣．
则sin2x====﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
6．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
　
7．⊙C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=18上到直线l：x﹣y+2=0的距离为的点个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出⊙C圆心C（4，2），半径r=3，再求出圆心C（4，2）到直线l：x﹣y+2=0的距离d=2，由此能求出结果．
【解答】解：⊙C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=18的圆心C（4，2），半径r==3，
圆心C（4，2）到直线l：x﹣y+2=0的距离d==2，
∴⊙C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=18上到直线l：x﹣y+2=0的距离为的点有3个．
故选：C．
【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及点到直线的距离公式的合理运用．
　
8．如图所示框图，如果输入的n为6，则输出的n2为（　　）

A．16 B．5 C．4 D．25
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，i的值，当i=3时，不满足条件i＜3，退出循环，计算输出n2的值为25．
【解答】解：模拟执行程序，可得
n=6，i=0
不满足条件n是奇数，n=3，i=1，满足条件i＜3，
满足条件n是奇数，n=10，i=2，满足条件i＜3，
不满足条件n是奇数，n=5，i=3，不满足条件i＜3，退出循环，输出n2的值为25．
故选：D．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确得到每次循环n，i的值是解题的关键，属于基础题．
　
9．△ABC中，B=60°，最大边与最小边的比为，则△ABC的最大角为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【分析】设a为最大边．，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tnaA的值，进而求得A．
【解答】解：不妨设a为最大边．由题意，，
即=，
∴=，
∴整理可得：（3﹣）sinA=（3+）cosA，
∴tanA=2+，
∴A=75°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系，属于中档题．
　
10．已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积V的大小为（　　）

A． B．12 C．16 D．
【分析】由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，即可得出．
【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：
四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S=×4=10，
∴几何体的体积V=×10×4=．
故选：D．

【点评】本题考查了三视图的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
11．若，则的展开式中的常数项（　　）
A． B． C．20 D．﹣15
【分析】先根据定积分的几何意义求出a的值，再再由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求得．
【解答】解：表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，
故=，
则=（﹣）6，
其通项公式为C6k（）6﹣k（﹣）k=C6k（）6﹣k（﹣1）kx6﹣2k，
令6﹣2k=0，即k=3，
故常数项为C63（）6﹣3（﹣1）3=﹣，
故选：B．
【点评】本题考查定积分的运算，考查二项式定理的运用求特定项，属于中档题．
　
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔xg（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
　
二.填空题
13．抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是　1　．
【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线x﹣y=0的距离．
【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．
　
14．经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为：经过椭圆+=1上一点P（x0，y0）的切线方程为　　．
【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．
【解答】解：类比过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，
类比推理得：
过椭圆+=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为：
故答案：
【点评】本题考查椭圆的应用、利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．
　
15．从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为　99　（用数字作答）
【分析】共有5种不同的类型，当有3个键同时按下，有C73种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
共有5种不同的类型，
当有3个键同时按下，有C73种结果，
当有4个键同时按下，有C74种结果，
当有5个键同时按下，有C75种结果．
当有6个键同时按下，有C76种结果，
当有7个键同时按下，有C77种结果．
根据分类计数原理得到共有
C73+C74+C75+C76+C77=35+35+21+7+1=99．
故答案为：99．
【点评】本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确
　
16．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　．
【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．
【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．
三角形ABC的面积为S1=×3×4=6，
离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π
所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为
P=1﹣=．
故答案为：．

【点评】本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．
　
三.解答题
17．设{an}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15．
（1）求{an}通项公式；
（2）令bn=an+2n（n=1，2，3…），求{bn}的前n项和．
【分析】（1）通过4a1，3a2，2a3成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为2，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；
（2）通过（1）可知bn=2n﹣1+2n，进而利用分组法求和即可．
【解答】解：（1）∵4a1，3a2，2a3成等差数列，
∴2×3a2=4a1+2a3，
又∵数列{an}是等比数列，
∴6a1q=4a1+2，即q2﹣3q+2=0，
解得：q=2或q=1（舍），
又∵S4=15，
∴=15，即a1=1，
∴数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴数列{an}通项公式an=2n﹣1；
（2）由（1）可知bn=2n﹣1+2n（n=1，2，3…），
∴数列{bn}的前n项和为+2=2n+n2+n﹣1．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
18．《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：
组数
分组
认同人数
认同人数占
本组人数比
第一组
[25，30）
120
0.6
第二组
[30，35）
195
p
第三组
[35，40）
100
0.5
第四组
[40，45）
a
0.4
第五组
[45，50）
30
0.3
第六组
[50，55）
15
0.3
（1）完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．
（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．

【分析】（1）由频率=，利用已知条件能完成所给频率分布直方图，并能求出n，a，p．
（2）由[40，45）年龄段中认同人数为60人，[45，50）两段中认同人数为30人，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，[40，45）年龄段中抽取6人，[45，50）年龄段中抽取3人，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）设[25，30）年龄段人数为x人，
由题意，解得x=200，
∵[25，30）年龄段人数的频率为0.04×5=0.2，
∴，解得n=1000．
∵[30，35）年龄段人数的频率为：1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴[30，35）年龄段人数为0.3×1000=300，
∴p==0.65，
∵[40，45）年龄段人数的频率为0.03×5=0.15，
∴[40，45）年龄段人数为0.15×1000=150，
∴a=150×0.4=60．
完成频率分布直方图如下：

（2）由（1）得[40，45）年龄段中认同人数为60人，[45，50）两段中认同人数为30人，
按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，[40，45）年龄段中抽取6人，[45，50）年龄段中抽取3人，
ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2

P




Eξ==．
【点评】本题考查频率分布直方图、频率分布列的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
　
19．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．
（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明PC⊥面PAB即可证明平面PAC⊥平面PAB；
（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点的空间直角坐标系如图：求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可二面角P﹣AC﹣D的余弦值．
【解答】证明：（1）∵半圆O以BC为直径，
∴PC⊥PB，
∵平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，ABCD是矩形，
∴AB⊥底面BPC，则AB⊥PC，
∵AB∩BP=B，
∴PC⊥面PAB，
∵PC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PAB，
（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点，OP，OE，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，﹣1，1）
=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，1，0），
则平面ACD的一个法向量为=（1，0，0），
设=（x，y，z）是平面PAC的法向量，
则，
令x=1，则y=1，z=2，即=（1，1，2），
cos＜，＞===，
∵二面角P﹣AC﹣D是钝二面角，
∴二面角P﹣AC﹣D的余弦值是﹣．

【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．
　
20．椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y=0的距离为，离心率为，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求出c的值，结合土偶眼离心率求出a的值，再由抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合即可求得椭圆方程和抛物线方程；
（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入后可求出使为常数的λ的值．
【解答】解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得，．
联立解得．
所以椭圆E：，抛物线G：y2=8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆E的方程联立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0
△=400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）=20（k2+1）＞0．

=．
直线l的方程为y=k（x﹣2），
与抛物线G的方程联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0．
．
．
=．
要使为常数，则20+=4，得．
故存在，使为常数．
【点评】本题主要考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了设而不求的解题思想方法，考查了弦长公式的用法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
　
21．已知函数f（x）=xlnx+a．
（1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；
（2）设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值；
（3）求证： , ．
【分析】（1）求出切点坐标，代入函数进行求解即可．
（2）求好的导数，判断函数的单调性进行求解即可．
（3）令x=，利用（2）的结论，构造不等式进行证明即可．
【解答】解：（1）∵函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，
∴此时y=2e，即切点坐标为（e，2e），
则切点也在函数f（x）上，则f（e）=elne+a=e+a=2e，
则a=e，
（2）函数的导数f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，
即函数在（，+∞）上为增函数，在（0，）上为减函数，
①当2m≤，即m≤时，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a，
②当m＜＜2m，即＜m＜时，f（x）min=f（）=﹣+a，
③当m≥时，f（x）min=f（m）=mlnm+a．
（3）令x=，则x＞，
由（2）知，xlnx+a≥﹣+a，
即xlnx≥﹣，当x=时，取等号，
∴ln=＞﹣，则﹣ln＞﹣，即e＜，即ln（1+）e＜1+，
∴ , ．
【点评】本题主要考查导数的综合应用以及利用导数证明不等式，综合性较强，难度较大．
　
选做题[几何证明选讲]
22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．

【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．
【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，
∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴ABAC=ADAE．
又AB=BC，
∴BCAC=ADAE．
解：（II）∵CF是⊙O的切线，
∴CF2=AFBF，
∵AF=2，CF=2，
∴（2）2=2BF，解得BF=4．
∴AB=BF﹣AF=2．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，
∴△AFC∽△CFB，
∴AF：FC=AC：BC，
∴AC==．
∴cos∠ACD=，
∴sin∠ACD==sin∠AEB，
∴AE==

【点评】本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．
　
[极坐标与参数方程]
23．（2016商洛模拟）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．
【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1消参数得到C1的普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；
（II）利用C1的参数方程求出P到C2的距离，根据三角函数的性质求出距离的最小值．
【解答】解：（I）由得cosα=，sinα=y．∴曲线C1的普通方程是．
∵，∴ρsinθ+ρcosθ=8．即x+y﹣8=0．∴曲线C2的直角坐标方程时x+y﹣8=0．
（II）设P点坐标（，sinα），∴P到直线C2的距离d==，
∴当sin（α+）=1时，d取得最小值=3．
【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程下距离公式的最值，属于基础题．
　
[不等式选讲]
24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；
（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴=，
当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，
故的最小值为9．

（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，
当时，﹣3x≤9，∴，
当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．
【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
　







































高考数学模拟试卷四（理科）
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．π B． C． D．2π
2．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10
3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．36
4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足=（++2），则为（　　）
A． B． C．2 D．
5．定义：max{a，b}=，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，﹣4x≤y≤x，则max{|3x﹣y|，x+2y}的取值范围是（　　）
A．[，7] B．[0，12] C．[3，] D．[0，7]
6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．函数f（x）=若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　）
A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25]
8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题
9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）=　　　　　　，集合S共有　　　　　　个子集．
10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5=　　　　　　，a2016=　　　　　　．
11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，
（1）若cosα=，则tan2α=　　　　　　；
（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是　　　　　　．
12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2﹣x）+1，则f（4）=　　　　　　．
13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为　　　　　　．

14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且=0，则双曲线的离心率为　　　　　　．
15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是　　　　　　的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则的取值范围是　　　　　　．
　
三、解答题
16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2=，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．
17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值．

18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求证：c1+c2+…+cn＜n+．
19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．
　
高考数学模拟试卷四（理科）试题解析　
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．π B． C． D．2π
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，
上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，
几何体的体积为： =．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．
　
2．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10
【分析】先求命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件即可
【解答】解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a
a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．
　
3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．36
【分析】变形已知式子可得+=1，整体代入可得x+y=（x+y）（+）=13++，由基本不等式可得．
【解答】解：∵正数x，y满足4x+9y=xy，
∴=1，即+=1，
∴x+y=（x+y）（+）
=13++≥13+2=25，
当且仅当=即2x=3y时取等号，
结合+=1可解得x=15且y=10，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，变形并整体代入化已知式子为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
　
4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足=（++2），则为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】作出图形：延长CO交边AB的中点于D，根据O是△ABC的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出，从而便可得到，而，这样即可求出的值．
【解答】解：如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则：
===；
∴；
∴，；
∴．
故选A．

【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．　
5．定义：max{a，b}=，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，﹣4x≤y≤x，则max{|3x﹣y|，x+2y}的取值范围是（　　）
A．[，7] B．[0，12] C．[3，] D．[0，7]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分．

由y﹣3x的几何意义为在y轴上的纵截距，
平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，取得最大值0；
经过点（3，﹣3）时，取得最小值﹣12．
max{|3x﹣y|，x+2y}=max{3x﹣y，x+2y}，
由y≤，可得3x﹣y≥x+2y，
即有z=max{3x﹣y，x+2y}=3x﹣y．
显然平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，z取得最小值0；
经过点（3，﹣3）时，z取得最大值12．
即所求取值范围是[0，12]．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义确定对应的直线方程是截距是本题的关键，属于中档题．
6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据新定义得出|f[f（f（x，y））]|=8，|（，）|=8，计算即可．
【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），
∴f[f（f（x，y））]=f（f（，））=f（，）=（，），
∵定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，
∴|（，）|=8，
∴=8，

∴|（x，y）|的值为16，
故选：C
【点评】本题考察了映射的概念，关键是理解题目条件的含义，展开计算即可，属于中档题目．　
7．函数f（x）=若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　）
A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25]
【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．
【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
不妨令a＜b＜c＜d，
则0＜a＜1，1＜b＜4，
则log2a=﹣log2b，即log2a+log2b=log2ab=0，
则ab=1，
同时c∈（4，5），d∈（5，6），
∵c，d关于x=5对称，∴ =5，
则c+d=10，则10=c+d，
同时cd=c（10﹣c）=﹣c2+10c=﹣（c﹣5）2+25，
∵c∈（4，5），
∴cd∈（24，25），
即abcd=cd∈（24，25），
故选：A

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性转化为一元二次函数是解决本题的关键．
　
8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图所示，连接A′A．设AD=x，．点H到平面A′AB的距离为h．由于=，可得S△ABH=h，又A′H==AH，S△ABH=，BH=．A′A=， =，代入化简利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，连接A′A．
设AD=x，．点H到平面A′AB的距离为h．
∵=，
S△ABH=h，
又A′H==AH，S△ABH=，BH=．
A′A=， =，
h====≤，当且仅当x=时取等号．
∴当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为．
故选：A．

【点评】本题考查了空间线面位置关系、三棱锥体积计算公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
二、填空题
9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）=　{1，5}　，集合S共有　8　个子集．
【分析】利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，
∴∁UT={1，4，5}，
∴S∩（∁UT）={1，5}，
S={1，2，5}的子集的个数为23=8，
故答案为：{1，5}，8．
【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．　
10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5=　3　，a2016=　192　．
【分析】利用a2n=2an，a2n+1=an+1逐层转换，从而求得．
【解答】解：a5=a2+1=2a1+1=3，
a2016=2a1008=4a504=…
=32a63=32（a31+1）
=32（a15+1+1）
=32（a7+3）
=32（a3+4）
=32（a1+5）
=32×6=192；
故答案为：3，192．
【点评】本题考查了递推公式的应用，属于中档题．　
11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，
（1）若cosα=，则tan2α=　﹣　；
（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是　（，）　．
【分析】（1）cosα=，α∈[0，π]，α=，∴tan2α=tan=﹣，
（2）观察函数图象，写出α的取值范围．
【解答】解：cosα=，α∈[0，π]，α=，
∴tan2α=tan=﹣，
（2）α∈[0，π]，由函数图象可知：sinα＞cosα，
∴α＞，
cosα＞，
∴α＜，
综上可知：α的取值范围是（，）．
【点评】本题考查特殊角的函数值及正弦函数余弦函数图象，属于基础题．　
12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2﹣x）+1，则f（4）=　0　．
【分析】由题意知4f（4）=2f（﹣2）+1，﹣2f（﹣2）=2f（4）+1，从而解方程即可．
【解答】解：∵xf（x）=2f（2﹣x）+1，
∴4f（4）=2f（﹣2）+1，﹣2f（﹣2）=2f（4）+1，
∴4f（4）=﹣2f（4）﹣1+1，
解得，f（4）=0；
故答案为：0．
【点评】本题考查了函数的基本性质应用及方程思想的应用．　
13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为　30°　．

【分析】延长AD，FE交于Q，∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，由此能求出异面直线EF与BC所成角．
【解答】解：延长AD，FE交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即异面直线EF与BC所成角为30°．
故答案为：30°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且=0，则双曲线的离心率为　　．
【分析】由题意可得F1（﹣c，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式和向量垂直的条件：数量积为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为0，解方程可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简可得b=2a，由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），设P（m，n），
可得﹣=1，③
中点Q的坐标为（，），且Q在渐近线y=﹣x上，
由=0，可得PF1⊥PF2，
即有OQ⊥PF1，可得
=，①
又=﹣，②
由①②解得m=，n=，
代入③可得，﹣=1，
由c2=a2+b2，化简可得b=2a，
c==a，
可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和向量垂直的条件，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．　
15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是　椭圆　的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则的取值范围是　[1﹣，1+]　．
【分析】（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，求出P，Q，M的坐标，利用余弦定理，可得结论；
（2）利用平行四边形的对角线的平方和等于1，结合a2+b2+ab=8，求出a，b，可得P，Q，M的坐标，利用向量的数量积公式可得结论．
【解答】解：（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，|OQ|=a，|OP|=b，则P（﹣， b），Q（a，0），
∴M（， b），
设M（x，y），则x=，y=b，
∴a=2x+y，b=y
由余弦定理可得a2+b2+ab=8，
∴3x2+4xy+7y2=6，
∴PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分；
（2）∵||为定值2，|OM|=1，
∴a2+b2=6，
∵a2+b2+ab=8，
∴ab=2，
∴a=，b=，
∴P（﹣，），Q（，0），M（，），
∴=1﹣， =1+， =1
∴的取值范围是[1﹣，1+]．
故答案为：椭圆；[1﹣，1+]．
【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．　
三、解答题
16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2=，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．
【分析】（I）由cos2=，可得=，化为cosA=，A∈（0，π），利用sinA=即可得出．利用S△ABC=4=bcsinA，可得bc．即可得出．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b，c．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（I）在△ABC中，∵cos2=，∴ =，
∴，解得cosA=，A∈（0，π），
∴sinA==．
∵S△ABC=4=bcsinA=bc×，可得bc=10．
=bccosA=10×=6．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b=5，c=2．
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=17，
∴a=．
【点评】本题考查了余弦定理、倍角公式、三角函数的面积计算公式、同角三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值．

【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，推导出OP⊥OC，OP⊥OB，由此能证明OP⊥平面APC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠MAB的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，
∵AP=CP，∴OP⊥OC，
∵在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2，
∴OP=2，OB=2，PB=4，∴PB2=OP2+OB2，△POB是直角三角形，
∴OP⊥OB，
又OC与OB交于点O，∴OP⊥平面APC．
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，﹣2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），
平面PAC的法向量=（1，0，0），
设平面PAM的法向量=（x，y，z），M（m，n，0），
∴=（0，2，2），=（m，n+2，0），
则，取z=﹣1，得=（），
∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，
∴|cos＜＞|===，
整理，得（n+2）2=9m2，
∴n+2=3m或n+2=﹣3m（舍），
∴cos∠MAB====．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．　
18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求证：c1+c2+…+cn＜n+．
【分析】（I）an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．代入化为：﹣=﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：an=bn+1=1﹣=．代入cn==1+，由于n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，可得＜，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．
【解答】（I）解：∵an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．
∴（bn+1+1）（bn+1）=2（bn+1+1）﹣1，化为：﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣1﹣n，∴bn=﹣．
（II）证明：由（I）可得：an=bn+1=1﹣=．
∴cn====1+，
∵n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，∴＜，
∴c1+c2+…+cn≤n++=n+﹣＜n+．
【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

【分析】（Ⅰ）由当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，求出c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）设直线l为：y=kx+m，与椭圆联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标．
（ii）由图形的对称性，取M为右焦点F2（1，0），S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面积的最小值为3．
【解答】解：（Ⅰ）∵F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，
P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，
∴=，解得c=1，
又∵2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b=，
故椭圆C的方程为．
证明：（Ⅱ）（i）由题意直线l的斜率存在，设直线l为：y=kx+m，
联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，
化简，得m2=3+4k2，
R（﹣2，﹣2k+m），T（2，2k+m），
由对称性，知定点M在x轴上，
设M（x，0），M在RT为直线的圆上，∴MR⊥MT，
∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣2k+m）（2k+m）=x2﹣4+m2﹣4k2=0，
解得x=±1，
∴定点M即为左右焦点F1，F2，其坐标为（±1，0）．
解：（ii）由图形的对称性，不妨取M为右焦点F2（1，0），
点P在x轴上方，
S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），
令m+k=t，则m=t﹣k，代入m2=3+4k2，
得3k2+2tk+3﹣t2=0，
△=4（4t2﹣9）≥0，
∵t＞0，∴t≥，S△RDA≥3，
当m=2，k=﹣时，取等号，
故△RTM的面积的最小值为3．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查圆过定点的证明及定点坐标的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆对称性，向量数量积的合理运用．
　
20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．
【分析】（Ⅰ）把2a+b=4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴为进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．由最大值的最小值为12证得答案；
（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=﹣，根据对称轴与区间[0，b]的关系分情况讨论f（x）的单调性，求出最值，根据1≤f（x）≤10列出不等式组，化简得出b的取值范围，从而得到实数b的最大值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵2a+b=4，
∴f（x）=x2+ax+b=x2+ax+4﹣2a=，
当，即a≥0时，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[﹣2a+4，2a+20]，
|f（x）|的最大值为M（a）=2a+20；
当，即a≤﹣8时，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+20，﹣2a+4]，
此时﹣2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值为M（a）=﹣2a+4；
当0，即﹣4≤a＜0时，f（x）在[0，4]上的最小值为，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+20，
∵2a+20≥12，4＜，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；
当，即﹣8＜a＜﹣4时，f（x）在[0，4]上的最小值为，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=﹣2a+4，
∵﹣2a+4＞12，4＜，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=﹣2a+4．
∴M（a）=，则M（a）≥12；
（Ⅱ）f（x）=x2+ax+b的对称轴为x=．
①若a≥0，则≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，
∴．
由b2+ab+b≤10，得≥a≥0，
解不等式组，得1．
②若0＜＜，即﹣b＜a＜0时，f（x）在[0，]上单调递减，在（﹣，b]单调递增，
∴．
∴，即，得1＜b＜10．
③若0＜＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0时，f（x）在[0，]单调递减，在（，b]单调递增，
∴，即，则1＜b≤10．
④若≥b，即a≤﹣2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，
∴，
∴，即，则b∈∅．
综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．
【点评】本题考查恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，体现了分类类讨论的思想方法，难度较大．


















高考数学模拟试卷五（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（　　）
A． B．1C． D．3
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（　　）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（　　）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（　　）
A．33B．26C．25D．21
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（　　）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
　
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=　　　　　　；l1∥l2，则a=　　　　　　．
10．设f（x）=则f（f（2））的值为　　　　　　；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为　　　　　　．
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为　　　　　　，目标函数4x2+y2的最小值为　　　　　　．
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是　　　　　　；单调递增区间是　　　　　　．
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=　　　　　　．
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•=　　　　　　．
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=　　　　　　．
　
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．

18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．

20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
　
高考数学模拟试卷五（理科）试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据指数函数的单调性即可得出A=（﹣∞，0），并且B=[0，1]，从而进行补集和交集的运算便可求出（∁RA）∩B．
【解答】解：解3x＜1得，x＜0；
∴A=（﹣∞，0），且B=[0，1]；
∴∁RA=[0，+∞）；
∴（∁RA）∩B=[0，1]．
故选D．
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得＞0，a+3b＞0．反之不成立，例如取f（x）=x﹣．
【解答】解：若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得=+b＞0，∴a+3b＞0．
反之不成立，例如取f（x）=x﹣，满足a+3b=1﹣=＞0，但是＜0．
∴“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的必要不充分条件．
故选：B．
　
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
【解答】解：由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，
下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
∴该几何体的体积是=×2+π×12×2
=24+2π（cm3）．
故选：A．
　
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（　　）
A． B．1C． D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用条件，结合抛物线的定义，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设A（x，y），则
∵直线AF的倾斜角为60°，
∴y=（x﹣）①，
∴△ABF的面积为，
∴=②，
∵A是抛物线在第一象限内的点，
∴y2=2px③，
∴由①②③可得p=1，x=，y=．
故选：B．
　
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（　　）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先确定P⊈Q，排除C，D，再确定Q⊈R，即可得出结论．
【解答】解：集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}表示以（±1，0），（0，±1）为顶点的正方形，
Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆的边界），所以P⊈Q，排除C，D；
x4+y2≤1中，以代替x，可得x2+y2≤1，∴Q⊆R．
x=，由x2+y2≤1，可得﹣≤y≤，由x4+y2≤1可得﹣≤y≤，∴Q⊈R
∴P⊈Q⊈R，
故选：A．
　
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（　　）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，可得S5=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，由三角函数的知识可得．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列， +=1，
∴可设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，
则S5=5cosθ+（sinθ﹣cosθ）=10sinθ﹣5cosθ
=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，
∴由三角函数可知S5的取值范围是[﹣5，5]，
故选：B．
　
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（　　）
A．33B．26C．25D．21
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意可得y=，则y（x+8）=，运用换元法，令t=x﹣1（t＞0），转化为t的式子，由基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，
可得y=，
则y（x+8）=，
令t=x﹣1（t＞0），即有x=t+1，
则y（x+8）==t++13≥2+13=12+13=25，
当且仅当t=6，即x=7时，取得最小值25．
故选：C．
　
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（　　）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】本题从AD与BC垂直入手，转化为AD与AD′垂直，从何转化为△AED′与△AED铺在一个平面内后，∠D′AD≥90°．
【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．
在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°，∠AD′E=120°，则∠D′EA=15°，
由正弦定理知，，则D′E=．
因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点，
则a＞，
故选：D．
　
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=　﹣　；l1∥l2，则a=　1或﹣2　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出a的值即可，对于两直线平行，需要验证是否重合．
【解答】解：∵l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，
当l1⊥l2时，a+2（a+1）=0，解得a=﹣；
当l1∥l2时，a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2；
验证a=1时，两直线分别为x+2y+6=0和x+2y=0，平行；
a=﹣2时，两直线分别为x﹣y﹣3=0和x﹣y+3=0，平行；
所以a=1或﹣2．
故答案为：﹣，1或﹣2．
　
10．设f（x）=则f（f（2））的值为　2　；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为　[1，2e）　．
【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．
【解答】解：由分段函数得f（2）=log33=1，f（1）=2e1﹣1=2e0=2，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥2时，函数f（x）=log3（x2﹣1）为增函数，
则f（x）≥f（2）=1，
当x＜2时，f（x）=2ex﹣1，为增函数，
则0＜f（x）＜2e，
∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，
则1≤a＜2e，
故答案为：2，[1，2e）

　
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为　10　，目标函数4x2+y2的最小值为　8　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（，5），
代入目标函数z=2x+y得z=2×+5=5+5=10．
即目标函数z=2x+y的最大值为10．
设4x2+y2=m，则m＞0，
即+=1，表示焦点在y轴的椭圆，
要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y﹣4=0，相切即可，
由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m，得4x2+（﹣2x+4）2=m，
即8x2﹣16x+16﹣m=0，
则判别式△=162﹣4×8（16﹣m）=0，
得8=16﹣m，
则m=8，即目标函数4x2+y2的最小值为8，
故答案为：10，8．

　
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是　　；单调递增区间是　[﹣+，]　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．
【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x
=1﹣sin22x
=1﹣×
=cos4x+，
∴函数f（x）的最小正周期为T==；
又函数y=cos4x的增区间为2kπ﹣π≤4x≤2kπ，
即﹣+≤x≤，
∴函数f（x）=sin4x+cos4x的单调递增区间是[﹣+，]（k∈Z）．
故答案为：；[﹣+，]（k∈Z）．
　
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=　4　．
【考点】数列递推式．
【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．
【解答】解：设a4=k，由an+1=an+an﹣1，得a3=a5﹣a4=1﹣k，
a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，
a6=a5+a4=1+k，
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．
故答案为：4．
　
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•=　3　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】用表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案．
【解答】解：∵•=（）=﹣=1，
•=（）=﹣=2，
两式相加得：﹣=3，即（）=3，
∴=3．
故答案为：3．
　
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=　5　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF1|•|PF2|=2b2，得到|PF1|+|PF2|=，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．
【解答】解：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①
•=0，可得PF1⊥PF2，
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②
②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，
即有|PF1|+|PF2|=，
由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，
即为2a（+2c）=2b2，
即有c+2a=，两边平方可得
c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，
即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），
即有e==5．
故答案为：5．
　
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得：…
∴…
即．
∵sinC＞0得，∴…
又，∴，∴…
（II）由已知得： +=2，平方得： 2+2+2•=42，…
即c2+a2+2cacos=84，
又a=2，∴c2+2c﹣80=0
解得：c=8或c=﹣2（舍去）…
∴S△ABC=﹣=4．…
　
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；
（Ⅱ）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量，这样根据便可得出法向量的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD；
∴AC⊥PD；
又AC⊥BD，BD∩PD=D；
∴AC⊥平面PBD，BP⊂平面PBD；
∴AC⊥BP；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则：
O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），P（，0，1）；
∴，，；
设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量；
由得，，取x1=1，则；
同理，由得，；
∴；
∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为．

　
18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）求出a=时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≥x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=，
当x≥1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣﹣＜0；
当0＜x＜1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=+＞0；
所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≥x得a（x+）﹣|x﹣|≥x，x＞0，
可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，
①当0＜x＜1时，a（x2+1）+（x2﹣1）≥x2，
即有a≥，
由=﹣∈（，1）
可得a≥1；
②当x≥1时，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥x2，
可得a≥
由=﹣∈[，）
可得a≥．
综上所述，a的取值范围是[，+∞）．
　
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，可得c=1，b==．
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），
联立得（4+3m2）y2+24my+36=0，
则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．
又y1+y2=﹣，y1y2=，
直线PQ的方程为y=（x﹣x1）﹣y1
则xT==
==+4=1，
则T（1，0），故|ST|=3
所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|=•=，
令t=＞0，
则S△PQT==≤=，
当且仅当t2=即m2=即m=±时取到“=”，
故所求直线l的方程为x=±y+4．
　
20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得，结合0＜an＜1，得到an+1﹣an=＜0，即an+1＜an；
（2）由已知数列递推式得，利用累加法得到Sn==an+1+．把已知递推式两边平方可得，利用放缩法得到，即2n，进一步得到，然后利用不等式的可加性证得﹣＜Sn＜﹣2．
【解答】证明：（1）由an+1+=2an+，
得，即，
∴，则，
又0＜an＜1，
∴，即an+1＜an；
（2）由an+1+=2an+，得．
∴Sn=a1+a2+…+an=+…+
=．
又∵an+1+=2an+，
∴，
∴．
由0＜an+1＜an，可知，
即，
∴2n，
∴，，
∵．
∴．
∴﹣＜Sn＜﹣2．