中考数学压轴题49

这是一份中考数学压轴题49，共7页。试卷主要包含了44，cs26°≈0，5）代入得等内容，欢迎下载使用。
3（8分）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；（2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．（参考数据：tan53°，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）【分析】（1）设y＝ax2+bx，由待定系数法求出a、b的值，即可解决问题；（2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，此时运动员滑行到点C，则BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，由锐角三角函数定义求出AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，则AE＝AG﹣EG＝2.25t2﹣4.5t，再由锐角三角函数定义得3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），求出t的值，即可解决问题．【解答】解：（1）猜想y与x是二次函数关系，设y＝ax2+bx，把（1，4.5）（2，14）代入得：，解得：，∴y＝2.5x2+2x，当x＝3时，y＝2.5×9+6＝28.5，当x＝4时，y＝2.5×16+8＝48，∴y＝2.5x2+2x符合题意，∴y与x之间的函数表达式为：y＝2.5x2+2x；（2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，如图所示：此时运动员滑行到点C，∴BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，则四边形AFDG与四边形PEGP′都是矩形，∵AB＝500m，∠ABF＝26°，∴AF＝GD＝AB×sin26°≈500×0.44＝220（m），∠GAC＝∠ABF＝26°，∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，∴PE＝P′G＝292﹣AF＝292﹣220＝72（m），在Rt△AGC中，AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，∴AE＝AG﹣EG＝2.25t2+1.8t﹣6.3t＝2.25t2﹣4.5t，在Rt△APE中，tan53°，∴3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），解得：t1＝6，t2＝﹣4（不合题意舍去），∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、二次函数的应用、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．27．（10分）问题提出（1）如图1，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，CD＝2BD，则△ABD与△ACD的面积之比为 　　；问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P为矩形内一动点，在点P运动的过程中始终有∠APB＝45°，求△APB面积的最大值；（结果保留根号）问题解决（3）如图3，某市欲规划一块形如平行四边形ABCD的休闲旅游观光区，点A为观光区的人口，并满足∠BAD＝120°，要求在边BC上确定一点E为观光区的南门，为了方便市民游览，修建一条观光通道AE（观光通道的宽度不计），且BE＝2CE，AE＝300米，为了容纳尽可能多的游客，要求平行四边形ABCD的面积最大，请问是否存在满足上述条件的面积最大的平行四边形ABCD？若存在，求出平行四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【分析】（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，由三角形面积公式得S△ABDBD•AE，S△ACDCD•AE，再由CD＝2BD，得S△ACD＝2S△ABD，即可得出结论；（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于G，以AB为斜边在矩形ABCD内作等腰直角△AOB，以O为圆心，OA长为半径作圆O，分别交AD、BC于E、F，交MN于P'，由圆周角定理和已知条件得点P在（不含点E、F）上运动，当P与P'不重合时，过P作PQ⊥AB于Q，连接OP、PG，再证PQ≤OP'+OG，则PQ的最大值为OP'+OG＝22，然后由三角形面积公式即可得出结论；（3）过A作AG⊥BC于G，由平行四边形的性质得∠B＝60°，S△ABCS平行四边形ABCD，进而得S平行四边形ABCD＝3S△ABE，再由AG≤AE和三角形面积公式得当E与G重合时，S△ABE最大BE•AE，然后求出S△ABE的最大值，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABDBD•AE，S△ACDCD•AE，∵CD＝2BD，∴S△ACD＝2S△ABD，∴，故答案为：；（2）如图2，作线段AB的垂直平分线MN，交AB于G，则AG＝BG＝2，以AB为斜边在矩形ABCD内作等腰直角△AOB，则∠AOB＝90°，OA＝OB，∴点O在MN上，以O为圆心，OA长为半径作圆O，分别交AD、BC于E、F，交MN于P'，则∠AP'B∠AOB＝45°，∵∠APB＝45°，且点P为矩形内一动点，∴点P在（不含点E、F）上运动，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝4，∴OA＝OBAB＝2，∴OP'＝2，∵∠AOB＝90°，G为AB的中点，∴OGAB＝2，∴GP'＝OG+OP'＝2+2，当P与P'不重合时，过P作PQ⊥AB于Q，连接OP、PG，在△OPG中，OG+OP＞PG，∴OG+OP'＞PG，∵PG＞PQ，∴OG+OP'＞PG＞PQ，当P与P'重合时，此时Q与G重合，则PQ＝P'G＝OP'+OG，综上所述，PQ≤OP'+OG，∴PQ的最大值为OP'+OG＝22，∴△ABP面积的最大值为4×（22）＝44；（3）存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，理由如下：如图3，过A作AG⊥BC于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵S平行四边形ABCD＝2S△ABC，∴S△ABCS平行四边形ABCD，∵BE＝2CE，∴S△ABES△ABCS平行四边形ABCDS平行四边形ABCD，∴S平行四边形ABCD＝3S△ABE，当E与G重合时，AE＝AG，当E与G不重合时，AE＞AG，∴AG≤AE，∵S△ABEBE•AG，∴当E与G重合时，S△ABE最大BE•AE，此时tanBtan60°，∴BEAE＝100（米），∴S△ABE的最大值为100300＝15000（平方米），∴平行四边形ABCD面积的最大值为3×1500045000（平方米），综上所述，存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，平行四边形ABCD的最大面积为45000平方米．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，有一定难度，正确作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题型．