中考数学压轴题41

每周两题（十五）

1．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”．

（1）若点是“倒数点”，则　   　；

（2）若一次函数图象上有两个“倒数点” 、，若的面积为，求的值；

（3）如图，已知顶点为的二次函数与轴交于，、，两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；

①求的值；

②若点是“倒数点“，且当时，的最小值为0，求二次函数的解析式．

2．如图已知：是圆的直径，，点为圆上异于点、的一点，点为弦的中点．

（1）如果交于点，求的值；

（2）如果于点，求的正弦值；

（3）如果，为上一动点，过作，交于点，与射线交于圆内点，请完成下列探究．

探究一：设，，求关于的函数解析式及其定义域．

探究二：如果点在以为圆心，为半径的圆上，写出此时的长度．

1．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”．

（1）若点是“倒数点”，则　4　；

（2）若一次函数图象上有两个“倒数点” 、，若的面积为，求的值；

（3）如图，已知顶点为的二次函数与轴交于，、，两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；

①求的值；

②若点是“倒数点“，且当时，的最小值为0，求二次函数的解析式．

【分析】（1）根据新定义解方程即可求解；

（2）根据倒数点的定义可知倒数点在上，联立得出，根据的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，则，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；

（3）①由题可知，，根据，，证明，得出，代入得；

②依题意，，由①知，又的最小值为0，则，解得，，，即可求解．

【解答】

解：（1）是“倒数点”，

且，

解得；，

故答案为：4；

（2）联立，得．

，，

的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，

则，

，

，

解得：或；

（3）①由题可知，，

直线的解析式为，

，

，，

，

，

，

其中，，代入得；

②设，其中，由①知，

当时，的最小值为0，

，结合三式及，

可得：，，，

故解析式为（或．

【点评】本题考查了新定义，解一元二次方程，反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．

2．如图已知：是圆的直径，，点为圆上异于点、的一点，点为弦的中点．

（1）如果交于点，求的值；

（2）如果于点，求的正弦值；

（3）如果，为上一动点，过作，交于点，与射线交于圆内点，请完成下列探究．

探究一：设，，求关于的函数解析式及其定义域．

探究二：如果点在以为圆心，为半径的圆上，写出此时的长度．

【分析】（1）如图1，过点作交于点，根据三角形的中位线的性质得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；

（2）如图1，连接，根据垂径定理得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，，解直角三角形即可得到结论；

（3）探究一：如图2，过点作交于点，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，则，，，，根据平行线成线段成比例定理得到（其中；

探究二：根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论．

【解答】

解：（1）如图1，过点作交于点，

点是的中点，

点是的中点，

，

点为弦的中点，

，

，

，

；

（2）如图1，连接，

点为弦的中点，

，

于点，

，

，

，

，

设，则，，

在中，，

；

（3）探究一：如图2，过点作交于点，

，

，

，

，

，，

设，则，，，，

，

，

，

（其中；

探究二：以为圆心，为半径的圆经过，

，

，

垂直平分，，

，

，

解得：，

．

【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

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