中考数学压轴题（9）——抛物线最值

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已知抛物线、为常数）．（1）当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则　  　；（2）若抛物线交轴于和，时，求抛物线上的点到轴距离的最大值；（3）当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为18，求的值．                        【答案】（1）；（2）当时，抛物线上的点到轴距离的最大，最大值为5；（3）或．【考点】二次函数综合题【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；待定系数法；判别式法；分类讨论；一次方程（组及应用；综合题；运算能力【分析】（1）将代入抛物线解析式，根据抛物线与轴有且只有一个交点，令，得判别式等于0，从而求得的值；（2）用待定系数法求得抛物线的解析式，分别计算当、和时的函数值，取绝对值最大的即为所求；（3）将，代入抛物线解析式，求得其顶点坐标，分三种情况计算：①当时；②当时；③当时，分别判断出何时取得最大值18，从而得关于的方程，求解并作出取舍即可．【解答】解：（1）当时，，抛物线与轴有且只有一个交点，令，则△，解得，．故答案为：；（2）抛物线交轴于和，，解得，，抛物线的解析式为：．，对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线离对称轴越远，函数值越小，当时，；当时，；当时，，当时，抛物线上的点到轴距离的最大，最大值为5；（3），抛物线为，其开口向下，顶点坐标为，．①当时，即时，在的情况下，随的增大而减小，当时，．，解得，，（舍去）；②当时，即时，，解得，，（舍去）；③当时，即时，在的情况下，随的增大而增大，当时，，，解得，，，均不合题意，舍去．综上所述，或．【点评】本题属于二次函数综合题，综合考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线与坐标轴的距离及最值问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．