中考数学压轴题（26）——正方形函数最大值问题

如图，是半圆的直径，．是弧上一点，连接，，的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为、．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）当时，求的长；

（3）设的长为，图中阴影部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的最大值．

【答案】（1）见解析；

（2）；

（3），有最大值为．

【考点】圆的综合题

【专题】运算能力；推理能力；圆的有关概念及性质

【分析】（1）证明四边形是矩形，由角平分线的性质得出，则可得出结论；

（2）求出，，设，则，由锐角三角函数的定义可得出的长，则可得出答案；

（3）将绕点顺时针旋转，得到△，，由得出，由二次函数的性质可得出答案．

【解答】

（1）证明：，，，

四边形是矩形，

平分，，，

，

四边形是正方形；

（2）解：，，

，

，

，

，

设，则，

，

，

；

（3）解：四边形是正方形，

，，，

将绕点顺时针旋转，得到△，，如图所示：

则、、三点共线，，

，即，

，

与之间的函数关系式为，

，

时，有最大值为．

【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、二次函数的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．