初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教案设计

第五章 分式与分式方程

章末复习

【知识与技能】

1.使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；2.会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.

【过程与方法】

通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力

【情感态度】

提高学生解决实际问题的能力，培养学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.

【教学难点】

会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.

一.知识结构

【教学说明】

引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.

二.释疑解惑，加深理解

1.分式概念：形如，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式.

2.分式的基本性质. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，用式子表示是：.

分式的约分和通分：

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

求几个分式的最简公分母的步骤：

（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；

 (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母;

(5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.

3.分式的运算

（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减;

（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母后再加减;

 (3)分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些.

4.分式方程.

分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：

①去分母，方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;

②按解整式方程的步骤求出未知数的值;

③验根.

5.分式方程的应用.

列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意.

【教学说明】

通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.

三.典例精析，复习新知

解：方程两边同乘x－2，得

1=－(1－x)－(3x－2)

1=－1+x－3x+6

2x=4   ∴x=2

检验：将x=2代入x－2=2－2=0

∴x=2为原方程的增根.

故原方程无解.

2.有一道题：“先化简，再求值：其中，x=-3”．

小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

解：原式计算的结果等于x2+4，

所以不论x的值是+3还是-3结果都为13。

3.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．

解：设前一小时的速度为x km/小时，则一小时后的速度为1.5x km/小时，

解这个方程为x=60，

经检验，x=60是所列方程的根，

即前一小时的速度为60 km/h．

4.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10 m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．

解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m3，则今年的价格为(1+25%)x元/ m3．

根据题意，得

解这个方程，得x＝2.4．

经检验，x＝2.4是所列方程的根．

 2.4×(1+25%)＝3 (元)．

所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m3．

【教学说明】

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.

四.复习训练，巩固提高

1.若的值为零，则x的值是.

答案：-1.

2.若分式的值是正整数，则整数x的值是.

答案：2，4.

答案：无解

4.先化简，再求值：

6.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度.

解：设船在静水中的速度为x千米／小时.

去分母得30(x－2)=20(x+2)

∴30x－60=20x+40

经检验：x=10是方程的根.

答：船在静水中的速度是10千米／小时.

7.某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工零件就少用10小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？

解：设采用新工艺前每小加工x个零件，则采用新工艺后每时加工1.5x个零件.

由题意得

经检验：x=40是方程的解,∴1.5x=60

答：采用新工艺前、后每时分别加工40个、60个零件.

8.福兴商场文具专柜以每支a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售．由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就销售一空．结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a＋805（元）．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少支钢笔及每支钢笔的进价a是多少元吗？

分析：依题意，知购进钢笔的支数为，显然，仅仅通过不能求出a．因此，挖掘条件中的内涵是解决问题的关键．这里a为正整数，也是正整数．

解：设文具专柜共购进钢笔y支，则有

∵a＞0且为整数，y为正整数，

∴a＋2是7的约数．

∴a＋2＝7或a＋2＝1．

∴a＝5，a＝－1（不合题意）．

当a＝5时，y＝400．

答：文具专柜共购进钢笔400支，每支进价5元

【教学说明】

让学生能从具体的情境中发现数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.

五.师生互动，课堂小结

1.通过对本章的复习，你有什么收获？

2.现实生活中会经常遇到问题，你能用本章知识解决吗？

布置作业:教材“复习题”中第11、10、13题.

学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识；加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.

通过设置恰当的、有一定梯度题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.加强学生对分式的运算等基本技能的训练.部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能.