北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程4 分式方程精品单元测试当堂检测题

第五章  分式与分式方程

单元测试

参考答案与试题解析

一、单选题

1．（2021·全国·八年级专题练习）下列式子中,不属于分式的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式的定义分析即可.

【详解】

A、B、D中的分母都含有字母，是分式；C中的分母含有圆周率π，π是常数，故C不是分式.

故选C.

【点睛】

本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．

2．（2022·全国·八年级）下列分式中属于最简分式的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据最简分式的概念：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此逐项判断即可．

【详解】

解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；

B、，不是最简分式，故此选项不符合题意；

C、=，不是最简分式，故此选项不符合题意；

D、是最简分式，故此选项符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查最简分式的概念，涉及分式的基本性质、平方差公式，理解最简分式的概念是解答的关键．

3．（2021·全国·八年级专题练习）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（          ）

A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍

【答案】C

【解析】

【分析】

分式中的x和y都扩大2倍变为一个新的分式再进行约分，比较与原分式的大小变化即可．

【详解】

分式中的x和y都扩大2倍变为==，

所以大小不变，故选C．

【点睛】

此题主要考查分式的性质，解题的关键是对分式进行正确的约分判断．

4．（2021·全国·九年级专题练习）已知，则代数式的值是（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等式的性质对变形可得，利用分式的性质对变形可得，从而代入求值即可．

【详解】

由条件可知，，

∴，即：，

根据分式的性质得：，

将代入上式得：原式，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．

5．（2021·全国·八年级专题练习）下列各式是最简分式的是（       ）

A．  B． C．  D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据最简分式的定义即可判断.

【详解】

A. 还有公因式4，不是最简分式；        

B. 还有公因式a，不是最简分式；       

C. 没有公因式，是最简分式；        

D. =还有公因式，不是最简分式；

故选C.

【点睛】

此题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式.

6．若分式无意义,则x的值是(     )

A．0 B．1 C．-1 D．

【答案】D

【解析】

【详解】

根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，故选D.

7．化简的结果是（　　）

A． B． C．x+1 D．x﹣1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据分式混合运算法则计算即可．

【详解】

解：原式= ．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混和运算的法则是解答本题的关键.

8．（2021·全国·八年级专题练习）若方程的根是正数，则的取值范围是(       )

A． B． C．且 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出分式方程的解，得出，求出的范围，再根据分式方程有解得出，，求出，，即可得出答案．

【详解】

解：方程两边都乘以得：，

，

，

，

方程的根为正数，

，

解得：，

又∵，，

∴，，

即的取值范围是，

故选A．

【点睛】

本题考查了分式方程解的应用，关键是求出和得出，，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．

9．（2021·全国·八年级专题练习）熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木，熊二便匀速跑过去阻止，2分钟后熊大以熊二1.2倍的速度跑过去，结果它们同时到达，如果设熊二的速度为x米/分钟，那么可列方程为(        ).

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设熊二的速度为x米/分钟，则熊大的速度为1.2x米/分钟，根据题意可得走过300米，熊大比熊二少用2分钟，列方程即可．

【详解】

解：设熊二的速度为x米/分钟，则熊大的速度为1.2x米/分钟，

根据题意可得：，

故选C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．

10．（2022·广西北海·八年级期末）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）

A． B．

C． +4＝9 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程即可.

【详解】

∵轮船在静水中的速度为x千米/时，

∴顺流航行时间为：，逆流航行时间为：，

∴可得出方程：，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的公式是解题关键．

二、填空题

11．（2022·湖北黄石·八年级期末）若分式的值为0，则______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据分式的值为零的条件即可求出x的值．

【详解】

解：由题意可知：|x|-1=0且x-1≠0，

解得x=-1．

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

12．（2021·全国·八年级课时练习）化简的结果是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【详解】

解：原式，

，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．

13．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）的最简公分母是_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

【详解】

解：的分母分别是xy、4x3、6xyz，故最简公分母是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

14．如果关于的方程有增根，则_______________.

【答案】-1

【解析】

【分析】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．

【详解】

方程两边都乘x−1得mx＋1-x＋1＝0，

∵方程有增根，

∴最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，

把x＝1代入整式方程，得m＝−1．

故答案为：−1．

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

15．分式的值为0，那么x的值为_____．

【答案】3

【解析】

【分析】

分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，

解得x＝3．

故答案为3．

【点睛】

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：分母不为零这个条件不能少．

16．（2020·山东·济宁学院附属中学九年级期中）乐乐通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为千米/时，则乐乐上学和放学路上的平均速度为_________千米/时．

【答案】

【解析】

【分析】

设去学校的路程为s，由上学时平均速度为千米/时，可求出上学时所用时间t1=，

根据回来的平均速度可求出回来的时间t2=，再利用平均速度=总路程除以总时间即可求出．

【详解】

设去学校的路程为s，∵上学时平均速度为千米/时，

∴上学时所用时间t1=，

∵返回的速度为千米/时

∴回来的时间t2=

∵总时间为+，总路程为2s，

∴乐乐上学和放学路上的平均速度为=．

【点睛】

此题主要考查分式的应用，解题的关键是根据题意列出式子进行计算．

三、解答题

17．（2021·全国·八年级课时练习）计算：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【解析】

【分析】

分别根据分式的加减乘除运算法则计算即可；

【详解】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

【点睛】

本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，准确计算是解题的关键．

18．（2021·全国·八年级课时练习）（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值；

（3）已知，求实数A，B．

【答案】（1）；（2）2；（3）A=1，B=2．

【解析】

【分析】

（1）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，设m=5k，n=3k，再代入求出即可；

（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；

（3）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再得出关于A、B的方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

解：（1）

，

∵，

∴设m=5k，n=3k，

当m=5k，n=3k时，原式；

（2）∵，

∴；

（3）

，

∵，

∴，

解得：A=1，B=2．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算和求值，乘法公式等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．（2021·全国·八年级课时练习）八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度

【答案】慢车的速度为

【解析】

【分析】

根据已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，列方程即可；

【详解】

解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得，

解得：；

经检验：x=40是原方程的解；

答：慢车的速度为．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键．

20．（2021·全国·八年级课时练习）某人沿一条河顺流游泳，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为．

（1）求他来回一趟所需的时间t；

（2）用t，x，n的代数式表示l

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）已知某人在静水中游泳速度为 ，水流速度为 ，可得顺流速度为:,逆流速度为： ，结合游泳距离，根据：来回一趟所需时间 顺流游一趟所用的时间 逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案；

（2）由（1）所得的等式，利用等式的基本性质，变形即可得出答案．

【详解】

解：（1）顺流的实际速度 静水中的速度 水流速度；逆流的实际速度静水中的速度水流速度，所以顺流速度为： ，逆流速度为：，

；

（2）由（1）得：

即

．

【点睛】

本题主要考查了分式的加减运算及等式的基本性质的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键．

21．（2021·全国·八年级课时练习）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下（包括300支），只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元.

（1）这个八年级的学生总数在什么范围内．

（2）若按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人．

【答案】（1）学生总数大于240人，且小于等于300人；（2）300人．

【解析】

【分析】

（1）设这个学校八年级学生有人，根据“如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；如果多购买60支，那么可以按批发价付款”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论；

（2）设铅笔的零售价为元，则批发价为元，根据数量总价单价结合120元按批发价比按零售价多购买60支，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值，再将其代入中即可求出结论．

【详解】

（1）设八年级学生总数有人，

则，解得．

∴学生总数大于240人，且小于等于300人；

（2）设铅笔的零售价为元，则批发价为元，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

．

∴这个学校八年级学生有300人．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．