2022-2023学年四川省绵阳市绵阳东辰高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳市绵阳东辰高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设复数，则的虚部是（   ）

A．1 B． C．-1 D．-

【答案】C

【分析】结合复数的四则运算，计算z，得到虚部，即可．

【详解】,所以z的虚部为-1，故选C．

【点睛】本道题考查了复数的运算，关键化简复数z，难度较容易．

2．平面向量，，若，则等于（    ）

A． B． C．     D．

【答案】A

【分析】根据向量共线列方程，从而求得.

【详解】由于，所以.

故选：A

3．若函数是奇函数，则可取的一个值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】的图象左右平移仍为奇函数，即可求得.

【详解】的图象左右平移仍为奇函数，则.

故选：A.

4．在中，若，则的形状是（      ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.

【详解】因为，

所以，

所以.

因为，所以.

又因为，所以，为直角三角形.

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.

【详解】由题，因为，

所以，

故选：B

6．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（  ）

A．的最小正周期为 B．是偶函数

C．的图像关于直线对称 D．在每一个区间内单调递增

【答案】A

【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.

【详解】因为，所以A错；，所以函数是偶函数，B正确；由的图像可知，C、D均正确，

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.

7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

8．已知函数,()在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解法一:(复合函数法)令,根据,得出.

再根据的单调性得出,解得.又因为时,,函数在区间恰好取一次最大值1,可得,即可解得.解法二:(特殊值法)带入特殊值当, ,逐项排除即可.

【详解】解：解法一:(复合函数法)

令,,

则.

所以函数在区间上单调递增,

从而可得,

则,解得.

当时,,

所以函数在区间恰好取一次最大值1,

所以,解得.

综上所知.

故选:C

解法二:(特殊值法)

当时,令,,

则,则函数在区间上不单调,

所以不合题意,排除B、D.

当时,令,,

则,则函数在区间取不到最大值1,

所以不合题意,排除A.

故选:C

【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数的取值,属于基础题.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量

【答案】ABD

【分析】对于选项AC，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.

【详解】选项A，因为，根据零向量的定义知，，故选项A正确；

选项B，根据向量加法的运算法则知，，故选项B正确；

选项C，为单位向量，则有，但与可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C错误；

选项D，因的模长为1，且与向量同向，故选项D正确.

故选：ABD

10．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.

【详解】A选项有无穷多解，显然错误；

B中，因为，C为锐角，所以，所以该三角形有一解，B正确；

C中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有一解，C正确；

D中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有两解，D错误.

故选：BC

11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在单调递减

D．该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】AD

【分析】根据图象求出的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC，根据图象的平移变换可判断D.

【详解】由图象可得的最大值为，即，

，即，

所以，

因为，所以，

所以，因为，所以，

所以，

对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；

对于B，因为，所以错误；

对于C，当时，，

所以函数在上不单调，故错误；

对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确，

故选：AD

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．它是偶函数

B．它是周期为的周期函数

C．它的值域为

D．它在这个区间有且只有2个零点

【答案】ACD

【分析】根据函数奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数得定义可知，与不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确.

【详解】由于，所以它是偶函数，故A正确；

由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B错误；

现在来考察这个函数在内的情况.

当时，

当时，

分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：

由此可知函数值域为，即选项C正确；

又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有2个零点，故正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C选项时，首先可讨论时的函数解析式，画出图形；当时图像重复的图像，而时，关于轴作出对称图像即可.

三、填空题

13．已知复数，则=________．

【答案】

【详解】试题分析：，所以

【解析】复数模的概念与复数的运算.

14．已知非零向量与的夹角为，，若，则______.

【答案】1

【解析】由，得到，进而得到，即可求解.

【详解】由，可得，所以，即，

又由，可得，解得(舍)或.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

15．化简：  ________.

【答案】－1

【详解】原式)(

.故答案为

【点睛】本题的关键点有：

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

16．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为_________

【答案】

【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.

【详解】正三角形ABC中，，设 ，则根据题意有：

，

中，

中，根据正弦定理得：

中，根据正弦定理得：

化简计算得：（ ）

当时，有最大值 .

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，，求：

(1)求向量与；

(2)求向量与的夹角.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；

（2）利用向量的夹角公式可得答案.

【详解】（1），.

（2），，，

，

∴.

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，，

(2)最大值为2，最小值为.

【分析】（1）将简函数为，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果；

（2）通过的范围，求出的范围，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果；

【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为，

由

得到，.

所以函数的单调减区间为，．

（2）因为，当时，，

根据函数的图像与性质知，，

所以的最大值为2，最小值为.

19．在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．

(1)求角A；

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）若选①，首先转化，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角；

若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角；

若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角；

（2）首先根据面积公式求，再结合余弦定理求，即可求解的值.

【详解】（1）若选①：由已知得：

由正弦定理可得

，可得，

由余弦定理可得， 因为， 所以．

若选②：因为

由正弦定理可得，

所以

因为 ， 所以， 所以，

因为， 所以

若选③：因为 ，由正弦定理得

因为 ，所以，故可得，

即, 所以，因为 ，所以；

（2）由（1）可得，，所以，

由余弦定理得：，

所以，又因为，解得，．

20．已知.

(1)求的值;

(2)若，且，求角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；

（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.

【详解】（1）解：因为，

所以，解得；

（2）解：因为，，

则，

解得，

又，所以，

又因，所以，

则，

所以.

21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边.

(1)设，求三角形铁皮的面积；

(2)求剪下的铁皮三角形面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设交交于点由，利用锐角三角函数可求，，进而可求，，代入可求

（2）设，由，，结合锐角三角函数的定义可求，，代入三角形的面积公式展开利用换元法，令，转化为二次函数的最值求解.

【详解】（1）解：设，则，

则，，故；

（2）设，，，

则，

，

令，则，

，，

则，所以

，

即三角形面积的最大值为.

22．如图，设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1且2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC，cos∠BAD．

(1)求b边的长度；

(2)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.

【答案】(1)4

(2)2

【分析】（1）根据2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC，利用正弦定理和余弦定理化简求解；

（2）设 利用D为中点，得到，两边平方，设，结合，求得，进而得到，

再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用E，G，F共线和基本定理，利用数量积运算求解.

【详解】（1）解：因为2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC，

所以，

所以，

化简得：4c＝b，又c＝1，

所以b＝4．

（2）设，

因为D为中点，所以，设，

则，

所以，而，

所以，

即，解得或，

因为，所以，，

所以，

因为的面积为面积的一半，

所以，即，

设，

则，

又E，G，F共线，设，

则，

所以：，解得：，

所以：，又，

所以,

，

又xy＝2，

化简得： ，

又y≤4，所以，

所以，当x＝1时等号成立．