2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高一下学期期中数学试题含解析
展开2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.() B.()
C.() D.()
【答案】C
【分析】根据终边相同的角的表示方法以及角度和弧度的应用,一一判断各选项,可得答案.
【详解】对于A,B,终边相同的角的表达式中弧度与角度混用,不正确;
又与角的终边相同的角的表达式可以为()或(),
对于,令,表示的角为与角的终边不相同,故C正确,D错误,
故选:C
2.如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,
则下列判断错误的是
A. B.∥
C. D.
【答案】D
【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知,∥且,∴选项A、B、C正确,故选D
3.下列求值正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】利用诱导公式计算.
【详解】,,
,.
故选:D.
4.已知角的终边经过点,且,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由可得,再根据余弦函数的定义求解即可.
【详解】解:因为,
所以,
所以.
故选:C.
5.下列函数不是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义,结合三角函数的性质即可化简求值.
【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数,
对于B,定义域为,且,所以为奇函数,
对于C,定义域为,且,所以为偶函数,
对于D,定义域满足且,所以且,
故定义域为或或,故定义域关于原点对称,且,所以为奇函数,
故选:C
6.先将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),所得函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据图象的伸缩变换即可求解.
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变,得到,
再将所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变得到,
故选:B
7.已知,且,则( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【分析】据二倍角公式,两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】,
,
,
又,则,即
所以,
因为,所以,.
由平方可得,即,符合题意.
综上,.
故选:B.
8.已知函数在区间上单调,且在区间内恰好取得一次最大值,记的最小正周期为T,则当取最大值时,的值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】化简得,结合已知可得,可解得,结合正弦函数的性质可得列不等式,得的范围,进而得解.
【详解】,
由,可得
∴是函数含原点的递增区间.
又∵函数在上递增,
∴,
∴得不等式组:,且,
又∵,
∴,
又函数在区间上恰好取得一次最大值,
根据正弦函数的性质可知,
所以且,
可得.
所以,
当时,,
所以,
故选:C.
二、多选题
9.给出下列命题正确的是( )
A.平面内所有的单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C.若满足,且同向,则
D.若四边形满足,则四边形是平行四边形
【答案】BD
【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB,由向量以及相等向量可判断AD.
【详解】对于A,单位向量是模长相等,方向不一定相同,故A错误,
对于B,由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量,故B正确,
对于C,向量不可以比较大小,故C错误,
对于D,,则,且,故为平行四边形,故D正确,
故选:BD
10.若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可.
【详解】因为,
所以,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
当时,选项D不正确;
故选:AC
11.已知,且,函数,则下列结论中正确的是( )
A.点是函数图像的一个对称中心
B.直线是函数图像的一条对称轴
C.函数在区间上单调递减
D.若,则函数的值域为
【答案】AC
【分析】先利用弦化切的思想,求出,由此求出的值,然后利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】:因为,由,
可得
而 ,所以 ,
于是
.
,点是函数图像的一个对称中心,
直线不是函数图像的对称轴,A选项正确,B选项错误;
时,,是正弦函数的单调递减区间,所以在区间上单调递减,C选项正确;
当时,有, ,
则的值域为,D选项错误.
故选:AC
12.已知函数,则( )
A.是周期函数
B.是偶函数
C.在上单调递增
D.若,使得成立,则
【答案】BCD
【分析】对选项A,根据是周期为的周期函数,是关于轴对称的函数,不是周期函数,即可判断A错误,对选项B,根据偶函数的定义即可判断B正确,对选项C,根据复合函数的单调性即可判断C正确,对选项D,根据题意得到,再结合单调性即可判断D正确.
【详解】对选项A,设,则,
因为是周期为的周期函数,
是关于轴对称的函数,不是周期函数,
所以不是周期函数,即不是周期函数,故A错误.
对选项B,的定义域为R,,
所以是偶函数,故B正确.
对选项C,,,
因为,在为增函数,
所以在为增函数,即在上单调递增,
故C正确.
对选项D,,使得成立,
即,
因为在上单调递增,
所以,即,,故D正确.
故选:BCD
三、填空题
13.化简得______.
【答案】
【分析】根据平面向量的加法和减法法则计算.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题考查平面向量的加法法则和减法法则,解题时注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
14.已知扇形圆心角所对的弧长,则该扇形面积为__________.
【答案】
【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】由弧长公式可得,所以扇形面积为,
故答案为:
15.若,则__________.
【答案】/
【分析】根据求解即可.
【详解】因为,所以,
因为,
所以,,
所以
.
故答案为:
16.如图,已知直线,为、之间的定点,并且到、的距离分别为和,点、分别是直线、上的动点,使得.过点作直线,交于点,交于点,设,则的面积最小值为__________.
【答案】
【分析】计算得出,,利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为直线,为、之间的定点,并且到、的距离分别为和,
过点作直线,交于点,交于点,则,,且,
又因为,则,故,且,
在中,,则,
在中,,则,
所以,,
因为,则,故当时,即当时,取最小值,且最小值为.
故答案为:.
四、解答题
17.已知.
(1)化简;
(2)若为第四象限角,且,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用诱导公式和同角三角函数的关系化简;
(2)利用同角三角函数的关系求值.
【详解】(1)由三角函数诱导公式知:
.
(2)为第四象限角,且,则,
可得.
18.在中,为的中点,在上取点,使,与交于,设.
(1)用表示向量及向量;
(2)若,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用向量的加减运算,用表示向量及向量;
(2),由三点共线知,可得的值.
【详解】(1)是的中点,,则
,
.
(2),
由三点共线知,所以.
19.设函数,图象的一条对称轴是直线.
(1)求;
(2)求函数在上的单调增区间.
【答案】(1)
(2)单调增区间为,.
【分析】(1)根据为函数的一条对称轴得到,解得,再根据的取值范围,即可得解;
(2)解法一:首先求出解析式,再根据正弦函数的性质求出函数上的单调递增区间,再与所给定义域求交集;
解法二:由的取值范围求出的范围,再根据正弦函数的性质得到不等式组,解得即可.
【详解】(1)因为是函数图象的对称轴,
所以,所以,解得.
又因为,所以.
(2)解法一:由(1)知,则.
由,得,
即在上的单调递增区间为,
,当时,可得,
当时,可得,
所以函数在上的单调增区间为,.
解法二:,,
要函数在上的单调递增,
或,
解得或,
所以函数在上的单调增区间为,.
20.如图,以为始边作角与,它们的终边分别与单位圆相交于点,且,已知点的坐标为.
(1)求;
(2)求函数的最小值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)利用三角函数定义,结合诱导公式、同角公式求解作答.
(2)由(1)求出,换元结合二倍角的正弦转化为二次函数求解作答.
【详解】(1)由三角函数定义,得,而,则,
由,得,即,
于是,
所以.
(2)由,得,
则函数,
令,
有,即,
令,显然函数在上单调递减,在上单调递增,
所以.
21.已知函数.
(1)求函数的最小正周期以及函数在上的值域;
(2)已知为锐角,且,求的值.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用两角和的正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简函数解析式,由周期公式求最小正周期,由定义区间用整体代入法求值域;
(2)可解得,同角三角函数的关系求出,由,两角和的正弦公式可解.
【详解】(1)因为
,
故数的最小正周期,
所以,则,
故函数的值域为.
(2)由,得
又因为为锐角,所以,
,所以,
所以
22.已知函数的部分图像如图所示,且,的面积等于.
(1)求函数的解析式;
(2)将图像上所有的点向左平移个单位长度,得到函数的图像,若对于任意的,当时,恒成立,求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)的面积求出,即,可求出,图像过点,求出,可得函数解析式;
(2)由函数图像的平移,求出解析式,设,化简函数解析式,依题意在区间上单调递减,利用正弦型函数的单调性求的最大值.
【详解】(1)由题意可得,
,
所以,由解得,所以,
图像过点,则,又因为,所以,
所以,
(2)由题意可得,
设
,当时,恒成立,
即恒成立,即恒成立,
在区间上单调递减,
令,解得,
因为,所以,则,
故,解得,
所以最大值为.
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