2022-2023学年四川省绵阳市绵阳实验高级中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年四川省绵阳市绵阳实验高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.

【详解】由集合，解不等式得到：，

又因为，根据集合交集的概念得到：，故D正确.

故选：D.

2．已知函数，其中，则（　　）

A．2 B．4 C．6 D．7

【答案】D

【分析】利用分段函数的意义求值.

【详解】，其中，

.

故选:D．

3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.

【详解】，即，则，.

故.

故选：A

4．设正实数分别满足，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.

【详解】由已知可得，，，

作出的图像如图所示：

它们与交点的横坐标分别为，

由图像可得，

故选：B

5．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值计算，即可判断选项.

【详解】由题意得的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D．

又，排除选项C.

故选：A．

6．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，

所以，

扇形面积，

当时，有最大值，此时圆心角，

故选：D

7．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】参变分离可得对恒成立，令，则，根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：因为，不等式恒成立，

所以对恒成立，

令，则，，

所以，

所以当时取得最大值，

即当时取得最大值，

即，所以.

故选：D

8．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.

【详解】由得：或，因函数，由解得，

因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，

函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，

函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，

在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，

观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，

所以实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

二、多选题

9．在下列命题中，正确的是（    ）

A．若函数是定义在区间[a-2，b]上的偶函数，则b=2

B．若函数满足，则

C．“方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是“”

D．已知命题p：“，都有”，则命题p的否定：“，都有”

【答案】ABC

【解析】根据二次函数的对称轴及区间对称可得判断A；由可判断B，由判别式及韦达定理可判断C，由全称命题的否定为特称命题可判断D.

【详解】对于A，若函数是定义在区间[a-2，b]上的偶函数，

则，解得，所以A正确；

对于B，函数满足，

则，解得

所以B正确；

对于C，方程有两个不相等的正实数根，则，解得，所以C正确；

对于D，命题p：“，都有”，则命题p的否定：“，都有”，所以D不正确.

故选：ABC.

10．以下命题正确的是（    ）

A．,使

B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是

C．若函数的定义域为,则函数的定义域为

D．函数单调递增区间为

【答案】BD

【分析】关于A,构造,判断单调性及函数在的范围,即可判断正误,关于B,分段函数单调性需要每一段单调及断点处依旧满足单调,列出等式解出范围,即可判断正误,关于C,的定义域也即是的范围,解出解集即可判断正误,关于D,复合函数单调性问题遵循同增异减,判断内外函数单调性即可判断正误.

【详解】解:由题知,关于选项A,不妨令,

单调递减,

,

,即,

,

,故选项A错误;

关于选项B,

在上单调递增,

,解得,故选项B正确;

关于选项C,

的定义域为,

则的定义域为,

解得,故选项C错误;

关于选项D,

为复合函数,

单调递减,

在上单调递减,单调递增,

在上单调递增,单调递减,故选项D正确.

故选:BD

11．下列结论不正确的是（        ）

A．当时,

B．当时, 的最小值是

C．当时, 的最小值是

D．设,,且,则的最小值是

【答案】BC

【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将表示为,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当时,,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可; 关于选项D,先将用把代换掉,即得,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件.

【详解】解:由题知,关于选项A,当时, ,

,

当且仅当时取等号,

故选项A正确;

关于选项B,当时,

,

当且仅当时取等号,

但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,

故选项B错误;

关于选项C,

因为,不妨取,

此时的值为负数,

故选项C错误;

关于选项D,因为,,,

则,

则

当且仅当,即时取等号,故最小值为,

故选项D正确.

故选:BC.

12．函数，则下列命题正确的是（        ）

A．函数为偶函数 B．函数的最小值为0

C．方程有3个不同的实数根 D．函数在区间上单调递增

【答案】BCD

【分析】由函数图像结合奇偶性、最值、单调性、函数的零点的性质逐一判断即可.

【详解】该函数的图像如下图所示：

由图可知，该函数图像不关于轴对称，故A错误；函数的最小值为0，故B正确；函数与函数有三个不同的交点，即方程有3个不同的实数根，故C正确；函数在区间上单调递增，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．计算          ．

【答案】/

【分析】利用指数、对数运算及诱导公式，特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】

.

故答案为：

14．已知，则         ．

【答案】1

【分析】先利用诱导公式化简，然后再代值计算即可

【详解】因为

，

所以，

故答案为：1

15．若函数（，）的图象经过定点，则函数的单调增区间为            .

【答案】

【分析】根据指数的运算性质，结合对数型函数单调性的性质进行求解即可.

【详解】令，得，此时，故定点，

则，，

，

令，时，为减函数，

又为减函数，

由得，

故定义域为：，

故所求增区间为.

故答案为:.

16．已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为           .

【答案】

【分析】根据题意构造，判定函数的单调性和奇偶性，利用赋值法得到，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.

【详解】因为，

所以当时，，

令，

则在上单调递增，

又因为为定义在R上的奇函数,

所以是偶函数，且在上单调递减，

因为，

所以，

等价于或，

所以或，

即不等式的解集为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，

(1)求和；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）解一元二次不等式，以及指数不等式求得，再结合集合的运算，即可求得结果；

（2）根据集合之间的包含关系，列出关于的不等关系，即可求得结果.

【详解】（1），

；

故，.

（2）因为，故可得是集合的子集；

若，即时，，满足题意；

若，即时，则需满足，解得；

综上所述，.

18．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求，的值；

(2)当时，解关于x的不等式．

【答案】(1)；

(2)见解析

【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；

（2）化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．

【详解】（1）由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，

所以，解得．

（2）当时，，即，

当时，即时，解得或；

当时，即时，解得；

当时，即时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

19．已知，为第二象限角.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用同角三角函数的关系化简，则由，可得，而，代值计算即可，

（2）由已恬条件可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算即可.

【详解】（1）为第二象限角，则.

.

∵，∴.

∴.

（2），

则.

∵为第二象限角，

∴，，.

∴

.

20．设幂函数在单调递增，

(1)求的解析式；

(2)设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；

（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得的解析式.

【详解】（1）∵是幂函数且在单调递增，

∴，解得，∴.

（2）即，解得，

∴的定义域为.

则，当，即时，；

当，即时，；

当，即时，.

所以，.

21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.

【详解】（1）根据题意，，化简得，

（2）由（1）得

当时，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，.

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.

22．已知函数是定义在上的奇函数．

(1)判断并证明函数的单调性；

(2)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)是上的增函数，证明见解析

(2)存在；

【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；

(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，

结合一元二次方程根与系数关系即可求解.

【详解】（1），所以

是上的增函数，证明如下：

设，，

，∴，，，，

∴是上的单调增函数．

（2）假设存在实数，使之满足题意．

由（1）可得函数在上单调递增，

∴，∴

∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．

令，即方程有两个不等的正根．

，∴

故存在，实数的取值范围为：