初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质一课一练

2022-2023学年人教版九年级下第二十七章相似三角形

课时4利用两边和夹角判定三角形相似练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

2．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）

A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG

3．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（             ）组．

①； ②； ③；④．

A． B． C． D．

4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　）

A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点

C．CE•CD＝CA•CB D．＝

5．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ）

A． B． C． D．

6．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ）

A． B． C． D．

7．正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是（     ）．

A． B． C． D．

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题

9．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______．

三、解答题

10．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．

(1)求证：．

(2)当，时，求线段的长．

11．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．

(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．

(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．

(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．

12．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′．

13．如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DFAC，EFAB．

(1)求证：△BDF∽△FEC．

(2)设．

①若BC＝15，求线段BF的长；

②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．

14．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

15．如图，是等边三角形，，点从点出发沿射线以的速度运动，过点作交射线于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连结．设点的运动时间为．

(1)求证：是等边三角形；

(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；

(3)当点在边上运动，且不与点重合．

①求证：；

②当为何值时，？

参考答案：

1．B

【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．

【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；

②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；

③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；

④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．

所以选B．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

2．C

【分析】由正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以证明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，

∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；

∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，

∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；

∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，

∴∠ABF+∠CBG=45°，

∴∠ABF与∠CBG不一定相等，

∴△ABF与△CBG不一定相似，

故选项C符合题意；

△BDE∽△BCG，故D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．

3．C

【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．

【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，

故选C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．

4．D

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．

【详解】∵CE⊥CD，

∴∠EDC＝90°，

∵∠BCA＝90°，

∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴DC＝DB＝DA，

∴∠DAC＝∠A，

∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，

∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，

∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，

∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，

∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，

∴△CEB∽△CAD，

∴A不符合题意；

∵点B是DE的中点，

∴BE＝BC，

∴∠BCE＝∠E，

∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，

∴△CEB∽△CAD，

∴B不符合题意；

∵CE•CD＝CA•CB，

∴．

∵∠BCE＝∠DCA，

∴△CEB∽△CAD，

∴C不符合题意；

由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，

∴D符合题意.

故选：D．

【点睛】本题考查判断三角形相似，直角三角形的性质．掌握判定三角形相似的条件是解题关键．

5．A

【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．

【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，

∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，

∴，，

∵CE⊥x轴，

∴，，

∵在矩形OABC中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

设点A坐标为，则点B坐标为，

连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，

∴，

解得：，（不合题意，舍去），

∴点A坐标为，

故选A．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．

6．B

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；

B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；

C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；

D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

7．B

【分析】连接BD，EF，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可得．

【详解】解：连接BD，EF．

∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），

∴△BCD的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积=，

∵点E，F分别是BC，CD的中点，

∴△BDE的面积=△BCD的面积，EF∥BD，EF=BD，

∴△GEF∽△GDB，

∴DG=2GE，

∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=，

∴阴影部分的面积=+= ()，

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算．

8．B

【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；

【详解】解：∵AD⊥CB，

∴∠ADC＝∠BDA＝90°，

∴∠BAC＝∠ADC＝90°

又∵∠C＝∠C，

∴△ADC∽△BAC，

同理：△ADB∽△CAB，

∴△ADC∽△BAC∽△BDA，

故选：B．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．

9．3：2

【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．

【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，

∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，

故答案为：3：2．

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．

10．(1)见解析

(2)

【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）如图（见解析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

（1）

证明：∵垂直平分，

∴，，，

在和中，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在和中，，

∴．

（2）

解：如图，延长至，使，连接，．

则垂直平分，

，

是边上的中线，

∴，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．

11．(1)证明见解析；

(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝；

(3)①当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，；②△ABP∽△CDP，；③当点P在在BD的延长线上时，或和

【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．

（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．

（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；

（1）

解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B＝∠D＝90°①，

∴∠A+∠APB＝90°，

又∵∠APB+∠CPD＝90°，

∴∠A＝∠CPD②，

∴由①②，△ABP∽△PDC．

（2）

设PB＝x，则PD为（7﹣x），

①△ABP∽△PDC时，，

即，

解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，

x＝1或x＝6，

②△ABP∽△CDP．，

即，

解得x＝．

综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝．

（3）

当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，，

即，

整理得，y＝x+；

②△ABP∽△CDP．，

即

整理得，y＝x．

当点P在在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，

，

∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，

，

y＝x﹣．

当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，＝，

∴，

∴y＝﹣x．

⑤△PAB∽△PCD时，，

∴＝，

∴y＝x．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键．

12．证明见解析

【分析】先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC∽△ADE，再△ADE≌△A′B′C′即可．

【详解】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE．

∵，AD=A′B′，AE=A′C′，

∴

而∠BAC=∠DAE，

∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

∴

又，AD= A′B′，

∴

∴

∴DE=B′C′，

∴△ADE≌△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键．

13．(1)证明见详解

(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×＝36

【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；

（2）①由平行线的性质得出，即可得出结果；

②先求出易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．

（1）

证明：∵DFAC，

∴∠BFD＝∠C，

∵EFAB，

∴∠B＝∠EFC，

∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，

∴△BDF∽△FEC；

（2）

解：①∵EFAB，

∴，

∴

∵BC＝15，

∴，

∴BF＝5；

②∵，

∴

∴，

∵EFAB，

∴∠CEF＝∠B，

∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B

∴△EFC∽△ABC，

∴，

∵S△EFC＝16，

∴S△ABC＝×16＝36．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

14．(1)见解析

(2)直角三角形，见解析

(3)125°，或140°，或110°

【分析】（1）根据旋转后，图形不变，，，根据等边三角形的判定定理，即可证明是等边三角形；

（2）根据旋转后，图形不变，，根据是等边三角形，得，得，即可证明的形状；

（3）根据是等腰三角形，依次讨论，，；根据等边对等角，进行讨论，求出的度数，即可．

（1）

∵绕点按顺时针方向旋转得

∴，

∴是等边三角形．

（2）

∵是由旋转后得到的

∴

∵是等边三角形

∴

∵

∴

∴是直角三角形．

（3）

∵是由旋转后得到的

∴

∴

∵是等边三角形

∴，

∴

∵

∴

∴

∵在中，

∴

∴

∵是等腰三角形

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴当为、、时，是等腰三角形．

【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握旋转后图形大小不变，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．

15．(1)见解析

(2)当时，；当时，．

(3)①见解析；②t=1

【分析】（1）利用，是等边三角形，即可证得是等边三角形；

（2）分两种情况进行讨论，①E点在AC上时，②E点在AC延长线上时，进行表示即可；

（3）①根据SAS证明； ②先判断出BP=CQ，进而列方程即可求t值．

（1）

解：∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴是等边三角形．

（2）

当时，

当时，．

（3）

①当点在边上运动，则，，

，，，

∴

∵，

∴，

在与中，

∴，

②若，则，

∴

答：当时，

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．