初中27.2.2 相似三角形的性质测试题

2022-2023学年人教版九年级下第二十七章相似三角形课时5利用两角判定三角形相似及两直角三角形相似的判定练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（     ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ）

A． B． C．是的中点 D．

3．如图，在△ABC中，D、E分别在BA、CA的延长线上，且DEBC，下列比例式成立的是（  ）

A． B．

C． D．

4．下列说法正确的是（    ）

A．两个直角三角形相似

B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似

C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似

D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ）

A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA

C． D．

6．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图，在中，，，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则的最小值为（    ）

A．8 B． C． D．

二、解答题

8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．

(1)求证：△ABC∽△BDC．

(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．

9．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

10．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；

(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

11．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.

(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；

(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

12．图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．

(1)求证：△PMN是等边三角形；

(2)若AB＝12cm，求CM的长．

三、填空题

13．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）

14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．

参考答案：

1．D

【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.

【详解】

（1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB

所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D．

【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.

2．C

【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．

【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；

B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；

C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；

D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意．

故选：C

【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．

3．B

【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．

【详解】解：∵DE∥BC，

∴，故C错误；

∴，故D错误；

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，故B正确，A错误，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．

4．D

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．

【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，

∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；

B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，

∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，

故选项B不合题意；

C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，

∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；

D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，

∴选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

5．D

【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明．

【详解】解：根据作图可知是的角平分线，，

，

在与中，

，

，

，

，

，

，

，

，

即．

A,B,C选项无法证明．

故选：D．

【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．

6．D

【分析】由题意知△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．

【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，

∴∠C=75°，∠A=30°，

A、三角形各角的度数都是60°，

B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，

C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，

∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故选：D．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．

7．C

【分析】延长到点，使得，连接，，过作于点，则，当点、、三点共线时，为最小值，求得的值便可．

【详解】解：延长到点，使得，再连接，，过作于点，如图，

，，，

，

，

，

，

，，

，

∴，

，

，，

，

，

，

当点、、三点共线时，取等号，

∴为的最小值．

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握求的最小值的方法．

8．(1)见解析；

(2)4．

【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；

（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．

（1）

证明：如图，∵AD＝BD，

∴∠A＝∠DBA，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠CBD＝∠DBA，

∴∠A＝∠CBD，

∵∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC；

（2）

解：如图，∵∠C＝90°，

∴∠A＋∠ABC＝90°，

由（1）得

∴∠A =∠ABD＝∠CBD，

∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，

∴∠A＝30°，

∵BC＝2，

∴AB＝4．

【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．

9．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）证明和相似，即可证明．

（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．

（1）

证明：，，

∽，

∴

．

（2）

证明：，，

∽，

，

，

又∵，

，

，

，

∽，

，

，

．

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．

10．(1)

(2)16

(3)BP的长度为2或3或6或7．

【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；

（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；

（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．

（1）

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠

∵是对角线，

∴∠，

∴∠，

∵四边形是正方形，

∴∠，

∴∠

又∠

∴，

∴

∴

故答案为:

（2）

过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，

∵点O是正方形ABCD的中心，

∴

又∠A=90°

∴四边形ATOM是正方形，

∴

同（1）可证△

∴

（3）

解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，

①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，

∴四边形ABEQ是矩形，

∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，

∴∠EFP+∠EPF=90，

∵∠AFP=90°，

∴∠EFP+∠AFQ=90°，

∴△EFP∽△QAF，

∴，

∵QF=EQ-EF=4，

∴，

∴EP=1，

∴BP=BE-EP=7；

②当∠APF=90°时，如图⑤，

同①的方法得，△ABP∽△PEF，

∴，

∵PE=BE-BP=8-BP，

∴，

∴BP=2或BP=6；

③当∠PAF=90°时，如图⑥，

过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，

同①的方法得，四边形ABPM是矩形，

∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，

同①的方法得，四边形ABEN是矩形，

∴AN=BE=8，EN=AB=6，

∴FN=EN-EF=4，

同①的方法得，△AMP∽△FNA，

∴，

∴，

∴AM=3，

∴BP=3，

即BP的长度为2或3或6或7．

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．

11．(1)

(2)，

【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；

（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．

（1）

解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，

∴D（0，2），C（3，4），，

设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，

得，，解得k=2，，

∴直线为，

令y=0，得x=1，

∴点E的坐标为（1，0）.

∴OE=1，AE=2，

利用勾股定理得，

，

，

∴△CDE周长的最小值为：．

（2）

解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，

理由如下：

∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，

∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，

∵，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

根据轴对称可知，，

∴，

设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，

得，解得，

∴直线的解析式为，

令y=0，得，

∴点F坐标为，

∴点E坐标为．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．

12．(1)见解析

(2)4cm

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；

（2）易证得，得出，，从而求得cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得PB的长，进而得出CM的长．

（1）

证明：∵是正三角形，

∴．

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形；

（2）

解：∵是等边三角形，是正三角形，

∴，，

在和中，

，

∴，

在和中，

∴，

同理可得

∴，

∴，，

∴cm，

∵△ABC是正三角形，

∴，

∴，

∴cm，

∴cm，

∴cm．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出是本题的关键．

13．或或（答案不唯一）

【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．

【详解】解：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或

∴都可得相似．

故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

14．

【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，证明△ABC≌△ADE，从而得到四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，然后证明出△ACE是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC的长度．

【详解】

如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．

∵BD为⊙O的直径

∴∠BAD＝∠BCD＝90°

∵CA平分∠BCD

∴∠BCA＝∠ACD＝45°

∴∠E＝∠ACD＝45°

∴AC＝AE

∵AE⊥AC

∴∠CAE＝90°

∴∠CAD+∠DAE＝90°

又∵∠BAC+∠CAD＝90°

∴∠BAC＝∠DAE

又∵∠BCA＝∠E＝45°

在△ABC≌△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（ASA）

∴

∴

∴

∴

故答案为：

【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．