专题02 利用导数研究函数的性质、极值与最值——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

专题02 利用导数研究函数的性质、极值与最值  

【考点预测】

一、函数单调性与导函数符号的关系

一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减．

二、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；

（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．

注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在..上是单调递增函数．

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：

单调递增；

单调递增；

单调递减；

单调递减．

三、含参函数单调性的讨论

1、导函数为含参一次型的函数单调性

导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．

2、导函数为含参二次型函数的单调性

当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：

（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；

（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．

3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性

当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．

在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的．

（1）二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性；

（2）通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性．

四、函数极值的概念

设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．

函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

五、求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．

为可导函数的极值点；但为的极值点．

六、函数的最大值、最小值

若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

七、求函数的最大值、最小值的一般步骤

设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：

（1）求函数在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

【典型例题】

例1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则的极小值为（    ）

A．2 B． C． D．

例4．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例5．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）已知，，，则（）

A． B．

C． D．

例6．（多选题）（2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

例7．（多选题）（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值

例8．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.

例9．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的最值．

例10．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)求函数在区间上的最小值．

例11．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）求下列函数的导数：

(1)①；②；

(2)若函数在处取得极值为7，求实数的值.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）函数的单调减区间是（    ）

A． B． C． D．

2．（2023春·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）已知函数的导函数为，对任意，都有成立，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．

C．函数在上有极大值

D．函数有三个极值点

4．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

6．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数在上单週递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ）

A． B．

C． D．

8．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）若函数在上有极值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023春·重庆巫溪·高二校考阶段练习）已知函数与的图象如图所示，则（    ）

A．在区间上是单调递增的

B．在区间上是单调递减的

C．在区间上是单调递减的

D．在区间单调递减的

10．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．有且仅有两个极值点

B．在区间上单调递增

C．可能有四个零点

D．若在区间上单调递减，则的最大值为6

11．（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．有三个零点

C．曲线与直线只有一个公共点

D．函数为奇函数

三、填空题

13．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）函数在区间上的值域是______.

14．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为_________.

15．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.

16．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.

四、解答题

17．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上单调递减，求实数的取值范围.

18．（2023春·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间和极值；

(2)讨论函数单调性．

19．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．

(1)求a，b的值；

(2)求函数的单调区间和极值；

(3)求函数在区间上的最大值．

20．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）已知函数，.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，

（ⅰ）求函数的单调区间；

（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.

21．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)求当时，函数在区间上的最小值．

22．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设函数有两个极值点，，且，求证：.