专题01 导数的基本概念和切线有关的问题——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

专题01 导数的基本概念和切线有关的问题

【考点预测】

一、基本概念

1、导数的概念

设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即

2、导数的几何意义

函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为

3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度．

二、基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式如表

注：

三、导数的运算法则（和、差、积、商）

设均可导，则

（1）（2）

（3）（4）

注：

四、复合函数的导数

复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即．

五、函数在处的导数几何意义

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为．

【典型例题】

例1．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不能确定

例2．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

例4．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）函数在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

例5．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

例6．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则之间的最短距离是（    ）

A． B． C． D．

例7．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ）

A．e B． C． D．

例8．（多选题）（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）过点有三条直线和曲线相切，则实数的可能取值是（    ）

A．0 B．3 C．6 D．4

例9．（多选题）（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（    ）

A．1 B．e C．e2 D．3e

例10．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知直线是曲线与的公切线，则__________.

例11．（2023春·河北沧州·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积（为坐标原点）；

(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·全国·高二专题练习）若直线是曲线与的公切线，则（     ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高二专题练习）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线，则实数a等于（    ）

A．2 B．1 C． D．

3．（2023春·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

5．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ）

A． B． C．1 D．2

6．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数，则（    ）

A．5 B． C．2 D．

7．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（    ）

A．45° B．60° C．120° D．135°

8．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（    ）．

A．1.00025 B．1.00005 C．1.0025 D．10005

二、多选题

9．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）下列命题正确的有（    ）

A．已知函数在上可导，若，则

B．已知函数，若，则

C．若函数，则的极大值为1

D．设函数的导函数为，且，则

10．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ）

A． B． C． D．

11．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（    ）

A． B．1 C．2 D．3

12．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ）

A．1 B． C． D．

三、填空题

13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．

14．（2023·全国·高二专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.

15．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为________.

16．（2023·全国·高二专题练习）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________.

四、解答题

17．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）（1）①求下列函数的导数②；

（2）已知直线和曲线相切于点．求的值以及切点坐标．

18．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数为．

(1)函数在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标；

(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．

19．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点．

(1)求实数a的值；

(2)若直线l与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程．

20．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数．

(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若，试问过点向曲线可作几条切线？

21．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知函数和，其中a，b为常数且．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围．

22．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中，过坐标原点和点分别作曲线：的切线和，求直线、与轴所围成的封闭图形的面积.