专题04 利用导数研究函数有解问题——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

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专题04 利用导数研究函数有解问题
【考点预测】
1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
2、直接讨论法
直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等．
【典型例题】
例1．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
【解析】（1）的定义域为，
当时，，
∴，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2），令，
若，则，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当时，f（x）在上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为，
，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴g（x）单调递增，
∴在上的最小值为，
由题意可知，解得，
又∵，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
例2．（2023春·天津宝坻·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
【解析】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，
因为，所以由导数的几何意义知，，
所以，解得：.
（2）的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，则单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）若存在，使得，转化为证明，
由（2）知，当时，则在上单调递增，而，
则存在，使得，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以，
解得：，因为，所以.
a的取值范围为.
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上：时在上单调递增.
时在上单调递增，在上单调递减
时在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在区间上有解，即求
当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时在上单调递增，在上单调递减
当时，所以函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以不成立，舍去
时在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以
综上的取值范围为：
例5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，
（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；
（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数只有1个零点.
(，，
当时，，或；当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以有极大值和极小值，且，
所以函数只有1个零点.）
（2）令 ，则，
当时，，或，          
当时，， 当时，，或
则当变化时，及的变化情况如下表：



-2






0


0



极小值

极大值

由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和，
当时， 函数取得极小值，
当时， 函数取得极大值，
由，当时，，当时，，
所以，轴是函数的图象的渐近线
所以，当时， 函数的最小值为，
若，使关于的不等式能成立，
则大于的最小值，即，
所以，实数的取值范围是
（2）另法：
关于的不等式能成立等价于不等式能成立，
当时，能成立，满足条件；
当时，抛物线开口向上，   
，使成立，满足条件；
当时，只需，
即 ，解得；
综上，实数的取值范围是.
例6．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．
【解析】（1）由题设，
当时，，则在R上单调递增；
当时，有，则在上递增；
有，则在上递减；
综上，，在R上单调递增；，在上递减，在上递增.
（2）由题设，则，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，只需，
令，若，则，
当时，，递增；当时，，递减；且，
又，，，，则，
所以整数，故其最大值为2.
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
【解析】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)