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    高考数学统考一轮复习第3章3.2.2利用导数研究函数的极值最值学案

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    这是一份高考数学统考一轮复习第3章3.2.2利用导数研究函数的极值最值学案,共7页。

    2课时 利用导数研究函数的极值、最值

     

     

     用导数解函数极值问题[分层深化型]

    考向一:根据函数图象判断极值

    [1] 设函数f(x)R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )

    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

    D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

     

    ·技法

    根据函数的图象,先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

    考向二:求函数的极值

    [2] [2020·天津卷节选]已知函数f(x)x36ln xf(x)f(x)的导函数.

    (1)求曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程;

    (2)求函数g(x)f(x)f(x)的单调区间和极值.

    考向三:已知函数极值求参数范围

    [3] [2021·山东部分重点中学联考]已知函数f(x)x(ln x1)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围.

    ·技法

    1.利用导数研究函数极值问题的一般流程

     

    2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领

    (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

    (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

    [注意] 若函数yf(x)在区间(ab)内有极值,那么yf(x)(ab)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.

    [变式练]——(着眼于举一反三)

    1[2021·广州测试]已知函数f(x)x3ax2bxa2x1处的极值为10,则数对(ab)(  )

    A(3,3)    B(11,4)

    C(4,-11)  D(3,3)(4,-11)

    2.设aR,若函数yxaln x在区间上有极值点,则a的取值范围为(  )

    A.

    B.

    C.(e,+)

    D(,-e)

     

    考点二 函数的最值问题[互动讲练型]

    [4] [2020·北京卷]已知函数f(x)12x2.设曲线yf(x)在点(tf(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.

     

    ·技法

    求函数f(x)[ab]上的最值的方法

    (1)若函数在区间[ab]上单调递增或递减,则f(a)f(b)一个为最大值,一个为最小值;

    (2)若函数在区间[ab]内有极值,则要先求出函数在[ab]上的极值,再与f(a)f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值;可列表完成;

    (3)函数f(x)在区间(ab)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.

    [变式练]——(着眼于举一反三)

    3[2021·惠州市高三调研考试试题]已知函数f(x).

    (1)f(x)的最大值;

    (2)设实数a>0,求函数F(x)af(x)[a,2a]上的最小值.

     

    考点三 生活中的优化问题[互动讲练型]

    [5] [2021·山东烟台调研]中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5t25tN*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20t25时,高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)

    (1)P(t)的解析式;

    (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)P(t)40t2650t2 000(),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大?

     

    ·技法

     

    [变式练]——(着眼于举一反三)

    4.如图,将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形,

    使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒,则这个纸盒的最大容积是________cm3.

     

     

     

    2课时 利用导数研究函数的极值、最值

    课堂考点突破

    考点一

    1 解析:由题图可知,当x<2时,f(x)>0;当-2<x<1时,f(x)<0;当1<x<2时,f(x)<0;当x>2时,f(x)>0.由此可以得到函数f(x)x=-2处取得极大值,在x2处取得极小值.

    答案:D

    2 解析:(1)f(x)x36ln x,故f(x)3x2.可得f(1)1f(1)9,所以曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为y19(x1),即y9x8.

    (2)依题意,g(x)x33x26ln xx(0,+).从而可得

    g(x)3x26x,整理可得g(x).g(x)0,解得x1.

    x变化时,g(x)g(x)的变化情况如表:

     

    x

    (0,1)

    1

    (1,+)

    g(x)

    0

    g(x)

    ?

    极小值

    ?

    所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+)g(x)的极小值为g(1)1,无极大值.

    3 解析:由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+)

    f(x)axln x

    f(x)axln x0,可得a

    h(x),则由题可知直线ya与函数h(x)的图象有两个不同的交点,

    h(x),令h(x)0,得xe

    可知h(x)(0e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,

    h(x)maxh(e)

    x趋向于+时,h(x)趋向于零,

    故实数a的取值范围为.

    变式练

    1.解析:f(x)3x22axb,依题意可得消去b可得a2a120,解得a=-3a4,故时,f(x)3x26x33(x1)20,这时f(x)无极值,不合题意,舍去,故选C.

    答案:C

    2.解析:因为函数yf(x)xaln x在区间上有极值点,所以y在区间上有零点.

    f(x)1(x>0)

    所以f·f(e)<0,所以(ea1)<0

    解得-e<a<,所以a的取值范围为.

    答案:B

    考点二

    4 解析:f(x)12x2f(x)=-2x,则f(t)=-2t,又f(t)12t2,所以曲线yf(x)在点(tf(t))处的切线方程为y(12t2)=-2t(xt),即y=-2txt212.t0,则围不成三角形,故t0.

    x0,得yt212,记A(0t212)O为坐标原点,则|OA|t212,令y0,得x,记B,则|OB|

    S(t)|OA||OB|

    S(t)为偶函数,仅考虑t>0即可.

    t>0时,S(t)

    S(t)(t24)(t212)

    S(t)0,得t2

    t变化时,S(t)S(t)的变化情况如表:

     

    t

    (0,2)

    2

    (2,+)

    S(t)

    0

    S(t)

    ?

    极小值

    ?

    S(t)minS(2)32.

    变式练

    3.解析:(1)f(x)(x>0)

    f(x)0xe.

    x(0e)时,f(x)>0f(x)(0e)上单调递增,

    x(e,+)时,f(x)<0f(x)(e,+)上单调递减,

    f(x)maxf(e),即f(x)的最大值为.

    (2)a>0结合(1)F(x)(0e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,

    F(x)[a,2a]上的最小值F(x)minmin{F(a)F(2a)}

    F(a)F(2a)ln aln(2a)ln

    0<a2时,F(a)F(2a)0F(x)minF(a)ln a

    a>2时,F(a)F(2a)>0F(x)minF(2a)ln(2a)

    综上所述,当0<a2时,F(x)[a,2a]上的最小值为ln a

    a>2时,F(x)[a,2a]上的最小值为ln(2a)

    5 解析:(1)5t<20时,不妨设P(t)1 000k(20t)2,因为P(5)100,所以解得k4.

    因此P(t)

    (2)5t<20时,Q(t)P(t)40t2650t2 000=-t3500t2 000

    因此F(t)=-t2500,5t<20.

    因为F(t)=-2t,当5t<10时,

    F(t)>0F(t)单调递增;当10<t<20时,F(t)<0F(t)单调递减.所以F(t)maxF(10)200.

    20t25时,Q(t)=-40t2900t2 000.

    因此F(t)9004020t25.

    因为F(t)<0,此时F(t)单调递减,所以F(t)maxF(20)0.

    综上,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益最大.

    变式练

    4.解析:设剪下的四个小正方形的边长为x cm,则经过折叠以后,糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(162x)cm,宽为(102x)cm的长方形,其面积为(162x)(102x)cm2,长方体纸盒的高为x cm,则体积V(162x)(102x)×x4x352x2160x(0x5),所以V12(x2),由V0,得0x2,则函数V4x352x2160x(0x5)(0,2)上单调递增,由V0,得2x5,则函数V4x352x2160x(0x5)(2,5)上单调递减,所以当x2时,Vmax144(cm3)

    答案:144

     

     

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