专题05 利用导数研究函数零点问题——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

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专题05 利用导数研究函数零点问题
【考点预测】
1、利用导数确定函数零点的常用方法
（1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
（2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
2、利用函数的零点求参数范围的方法
（1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解；
（2）利用函数零点存在定理构建不等式求解；
（3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
【典型例题】
例1．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)若有2个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，设，
则，设，
由函数和在上单调递增，
知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以
即在上恒成立；
（2）由，得，令，
则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，
令，得，
当时，当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，
作出函数的大致图象如下：

结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，
故a的取值范围是．
例2．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；
【解析】（1），
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，是减函数，时，是增函数，
综上， 时，在上是增函数，时，在上是减函数， 在上是增函数.
（2）当时，由 (1)得在上是增函数，不符合题意；
当时，由(1)得.
①当时，，只有一个零点，不符合题意；
②当时，，故在有一个零点，
又在上是增函数，
设，，，
∴在单调递增，，
∴在单调递增，，
设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增，
∴，即，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
③当时，，故有一个零点，
又在上是减函数，，由②得，
故在有一个零点，故函数有两个零点,
综上，的取值范围是或.
例3． 对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及.
例4．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【解析】（1）因为
则，即，所以，经检验符合题意
（2），则.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图像有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
例5．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)设函数，讨论的零点个数.
【解析】（1）因为，则，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处有极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，
由，可得或，由，可得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，当时， ，当时，
∴当或，即或时，有一个零点，
当或，即或时，有两个零点，
当且，即，有三个零点，
综上：当或时，有一个零点；或时，有两个零点；，有三个零点.
例6．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)若函数单调递增，求实数的取值范围；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1），
若函数单调递增，可得恒成立，
可化为，
由函数的值域为，可得；
所以实数的取值范围为.
（2）①当时，，此时函数单调递增，不可能有两个零点；
②当时，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为，
，
若函数恰有两个零点，
只需，可得，
令，有，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，
可得函数单调递增，
有（当且仅当时取等号），
可得当时，不等式成立.
故当且时，有，
可得，
又由，
可得此时函数有且仅有两个零点.
由上知，若恰有两个零点，实数的取值范围为.
例7．（2023春·辽宁铁岭·高二铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若 在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若存在零点且零点的绝对值小于2，求a的取值范围
【解析】（1），
因为在上单调递增,则当时，，，即
而当时，，则有，
所以若在上单调递增，a的取值范围是
（2）若，，单调递增，且有，
由f（x）存在零点且零点的绝对值小于2，可知存在唯一零点
由，则，.
若，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
则取极小值，即，
又，则，，
又， ，且当趋向于正无穷时,趋向于正无穷，
故此时存在两个零点，分别设为，
又，则，由题意，则有，即，
故，
综上，a的取值范围是.
例8．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数的减区间是，求a的值；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1），
当时，，
，
在点处的切线方程为，即
（2）函数的减区间是(-1，4)，
而
令，当时，，单调递减，，
当时，，单调递减，不符合题意，
当，无实数解，不符合题意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
当时，；当时，
故在上递减；在上递增
所以，即，
所以，
实数的取值范围是.
例9．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.
【解析】（1）.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）令，得.
令，则.
设函数，则，
所以在上单调递减.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
当趋近于0时，趋近于负无穷.
当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，
因为有两个零点，所以，解得.
故的取值范围为.
因为，所以.
要证，只需证.
由于在上单调递增，故只需证.
由，得
令，则.
当时，，所以在上单调递增.
，即，
所以，即证得.
【过关测试】
1．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
2．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）∵，
由题意得，解得，
所以，，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取到极大值，在处取到极小值，
故符合题意，.
（2）令，则，
原题意等价于与有三个交点，
由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取到极大值，在处取到极小值，
故，解得，
所以的取值范围为．
3．（2023春·山东枣庄·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2）由题意得：；
①当时，恒成立，在上单调递增，
至多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，，则，则至多有一个零点，不合题意；
当时，，则；
，，在上有唯一零点；
由（1）知：当时，，
则当且时，，
在上有唯一零点；
则当时，有两个不同零点；
综上所述：实数的取值范围为.
4．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设函数，其中实数a，b，c满足．
(1)若，，求函数在处的切线方程；
(2)若，求函数的极值；
(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，，，
所以，，
故，，又，
所以切线方程为，即；
（2）因为，，所以，
所以，
，
令，解得，，
x







0
—
0



极大值

极小值

所以函数的极大值为，极小值为．
（3）因为，所以a，b，c成等差数列，因此不妨令，，
所以曲线与直线有三个互异的公共点，
等价于方程有三个不同的实数解，
即有三个不同的实数解，
则，令，
则原方程等价于，
即有三个不同的实数解，
令，则，
当时，恒成立，即在R上严格单调递增，不合题意，舍去；
当时，令，解得，，
此时在和严格单调递增，在严格单调递减，
因此有三个不同的实数解等价于，
即，
解得或，此时．
5．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值7.
(1)求的值；
(2)求函数的单调性及极值；
(3)若关于的方程在上恰有2个不同的实数解，求的取值范围.
【解析】（1）∵，则，
由题意可得，解得，
故，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故为极大值点，则符合题意，
∴.
（2）由（1）可得：，且在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，极小值为.
（3）若，则，
原题意等价于在上恰有2个不同的实数解，
∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，
且，
函数的图象如图所示：

若在上恰有2个不同的实数解，则，
故的取值范围为.
6．（2023秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）已知，
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，则，可得，
故，
即切点坐标为，切线斜率，
故函数在点处的切线方程为．
（2）由题意可知：函数定义域为，且，
注意到，令，解得或，
①当，即时，与在上的变化情况如下


1




+
0

0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
②当时，在定义域内恒成立，
所以函数的单调递增区间为；
综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为．
（3）当时，则，
因为方程在区间内有唯一实数解，
即，整理得，
原题意等价于在区间内有唯一实数解，
设，则，
注意到，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
且，
则在上的图像如图所示，

若在区间内的唯一实数解，则或，
解得或，
故实数的取值范围．
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数）.
(1)求在上的最值；
(2)若函数没有零点，求实数的取值范围.
【解析】（1），
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，，，
所以，函数在上的最小值为，最大值为.
（2）因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即，
所以，实数的取值范围为.
8．（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)若函数在R上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a的取值范围.
【解析】（1）因为在上单调递减，所以在上恒成立，
因为，
所以，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故实数的取值范围是.
（2）设切点为，则，
所以切线方程为
将点代入得，
整理得，
即关于的方程有三个不同根，
等价于的图象与直线有三个交点.
因为，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以实数的取值范围是.
9．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知函数，.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)如果存在实数、，其中，使得，求的取值范围．
【解析】（1）因为，其中，则，所以，，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
（2）由可得，由可得.
所以，函数的减区间为，增区间为.
（3）由已知，则函数在、上为增函数，
若存在实数、，其中，使得，则，，
令，则，可得，
由可得；由可得，所以，，
令，其中，令可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，，
又因为，，且，所以，，
因此，的取值范围是.
10．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数，且．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．
【解析】（1）∵，∴，解得：，
∴，则，
∴在点处的切线方程为：，
即．
（2）由（1）知：，则，
∴当时，；
当时，；
∴在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
∴，，
由，有，即函数与的图像有三个交点，
则有实数m的取值范围为．
11．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的单调性；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的零点，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
由，得，所以的单调递增区间为，
由，得，且，所以的单调递减区间为
（2）关于的方程在上有两个不相等的零点等价于函数的图象与函数的图象在上有两个不同的交点，
由，得；由，得
所以当时，函数取得极大值，为
又，，，且
所以实数的取值范围为
12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数定义域为，
∵，∴．
①当时，在上恒成立，
即函数的单调递减区间为．
②当时，，解得，
当时，，
∴函数的单调递增区间为，
当时，，
∴函数的单调递减区间为．
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为；
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
又函数有两个零点，∴，∴．
又，∴，使得，
又，
设，则，
∵，∴，∴函数在上单调递减，
∴，∴，使得，
综上可知，实数的取值范围为
13．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)求证：时，只有一个零点；
(3)若有两个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为， 且，
当时，，在单调递增；
当时，由，可得时，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；
（2）由（1）知，时，在单调递增，
又，，
所以，时，只有一个零点；
（3）由（1）知，当时，在单调递增，则最多一个零点，不符题意；
当时，在单调递减；在单调递增．
因为有两个零点，则，
下证：在和上各有一个零点；
由在单调递增，且，,
又，则在有一个零点；
又在单调递减，且，
设，则，
所以函数单调递减，，
所以，当时，，
则 ，所以
又，所以在有一个零点；
综上，得.
14．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，因为，该函数的定义域为，
，
由可得或.
①当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
②当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数的减区间为，无增区间；
③当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.
（2）当时，，
由可得，可得，
令，则，
由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为，
因为函数、的图象有三个交点，
所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
15．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
【解析】（1）


，
当单调递增，
当，单调递减，
当单调递增.
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,
在增区间至多有一个零点,不符题意.
情况二：若,即时,
由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，
取,则,
，
当时,,由于在区间上单调递增,
故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，
情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,
仅有一个零点,不符题意，
综上,的取值范围是.
16．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知函数．
(1)若在上恒成立，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下证明:对任意，都有；
(3)设，讨论函数的零点个数．
【解析】（1）由在上恒成立，可得在上恒成立，
令，则，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减，
故在处取得极大值，也即最大值，
要使得，则，
所以，的取值范围为．
（2）由（1）当时，，即在时恒成立，
令，，则，
所以，
所以，．
（3）由可得，，
即，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以，当时，取得最大值，
因为，，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以，当时，只有一个根，即只有一个零点，
当时，方程有且仅有2个根，即有且仅有2个零点，
当时，没有根，即没有零点
17．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．
【解析】（1）当时，，由，得，
由，可得，在上单调递减，
由，可得，在上单调递增，
所以，无极大值；
（2）由题可知，
①若，当时，，
当且仅当时取等号，所以符合题意；
②若，当时，；
当时，，
所以当时，，当且仅当，且时取等号，
所以在上单调递增，，所以符合题意；
③若，由（1）可得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，
当时，单调递减，所以．
可见，不符合题意；
综上，的取值范围是；
（3）①若，由（2）可得时，在内无零点，
当时，，又由单调递增，
则，
所以若在内无零点；
②若，由（2）可得时，在内无零点．
当时，．
可见，若在内无零点
③若，由（2）可得存在唯一的，当时，，单调递减；
当时，单调递增．
又，所以，又，
由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，
所以在内存在唯一的零点；
当时，，所以，所以在内没有零点；
所以在有且仅有1个零点．
综上所述：若在内无零点；若在内有且仅有1个零点．
18．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
【解析】（1）当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（2），
令，得或，由于，
当时，；当时，，当时，.
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
，
令，得，
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和；
令，得，
现说明，即，即显然成立.
因为，故，
当时，，又.
所以存在唯一，唯一，唯一，
使得，此时函数有3个零点，
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 .
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点.
综上所述，当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当 时，函数有3个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有1个零点.