新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案50第八章解析几何第七讲抛物线

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练案[51] 第七讲　抛物线A组基础巩固一、单选题1．(2023·安徽皖江名校联考)设抛物线y＝x2上一点P到x轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( B )A．3  B．4 C．7  D．13[解析]　因为x2＝12y，则准线方程为y＝－3，依题意，点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y＝－3的距离，即3＋1＝4.故选B.2．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( B )A．经过点O  B．经过点PC．平行于直线OP  D．垂直于直线OP[解析]　由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，∴FQ的垂直平分线必过P，故选B.3．(2023·贵州联考)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，A(m，n)是抛物线C上的一点，若|AF|＝，则△OAF(O为坐标原点)的面积是( A )A.  B．1 C．2  D．4[解析]　由题可得F，因为|AF|＝＝m＋，所以m＝2，从而n＝±2，所以△OAF(O为坐标原点)的面积是××2＝.故选A.4．(2022·全国高考真题)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( B )A．2  B．2 C．3  D．3[解析]　由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|＝＝2.故选B.5．(2023·安徽安庆模拟)已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝－3的距离为d，A点坐标为(2,0)，则|PA|＋d的最小值等于( B )A．4  B．2＋ C．2  D．3＋[解析]　如图所示，抛物线y＝x2化为x2＝4y，可得焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1，可得动点P到直线l：y＝－3的距离为d＝|PE|＋2＝|PF|＋2，又由|PF|＋|PA|≥|FA|＝，从而|PA|＋d＝|PA|＋|PF|＋2≥＋2.所以|PA|＋d的最小值等于2＋.故选B.6．(2022·山西太原模拟)过抛物线x2＝8y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若＝λ，|MN|＝9，则λ的值为( D )A.  B．C.或3  D．或2[解析]　由焦点弦的性质可得解得或所以λ＝2或，故选D.7．(2023·四川德阳诊断)已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为3，则|AB|的最大值为( C )A．4  B．6 C．8  D．10[解析]　抛物线y2＝4x，可得p＝2，焦点坐标(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，当弦AB过焦点F(1,0)时取得最大值8.8．(2023·广西南宁适应性测试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在直线x＋y－1＝0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则|AB|＝( C )A．12  B．14 C．16  D．18[解析]　因为直线x＋y－1＝0与y轴的交点为(0,1)，所以抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点坐标为(0,1)，设F(0,1)，抛物线方程为x2＝4y，所以过焦点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－14y＋1＝0，所以y1＋y2＝14，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16，故选C.二、多选题9．(2022·湖南湘潭模拟改编)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝，若点M的坐标为(0,1)，且MF⊥MT，则C的方程为( AB )A．y2＝2x  B．y2＝8xC．y2＝4x  D．y2＝x[解析]　设T为(x0，y0)，则＝(x0，y0－1)，又F，所以＝，因为MF⊥MT，所以·＝0，可得x0－y0＋1＝0，又y＝2px0，联立，消去x0，得y－4y0＋4＝0，所以y0＝2，故T，又|FT|＝x0＋＝，所以－＝，即p2－5p＋4＝0，解得p＝1，或p＝4，所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.故选AB.10．(2022·河北邯郸期末)已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上两点，焦点为F，抛物线上存在一点M(3，t)到准线的距离为4，则下列说法正确的是( ABC )A．p＝2B．若OA⊥OB，则直线AB恒过定点(4,0)C．若△AOF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为D．若＝3，则直线AB的斜率为[解析]　根据抛物线定义可知3＋＝4，得p＝2，故A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB斜率必不为0，设直线AB：x＝ky＋b，代入y2＝4x，得y2－4ky－4b＝0，y1＋y2＝4k，y1y2＝－4b，kOAkOB＝＝＝＝＝－1，即b＝4，所以直线AB恒过定点(4,0)，故B正确；△AOF外接圆圆心横坐标为，外接圆半径为＋＝，故C正确；因为＝3，所以AB过焦点，且|AF|＝3|FB|，设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的对称性知AB的斜率应是互为相反数的两个值．事实上，l为准线，AD⊥l于D，BC⊥l于C，BH⊥AD于H.设|BF|＝m，则|AB|＝4m，|AH|＝2m，∴θ＝∠HAB＝，∴kAB＝tan θ＝.同理当A在第四象限时kAB＝－.D错误，故选ABC.三、填空题11．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，t)与焦点F的距离|MF|＝p，则M到坐标原点的距离为 3　.[解析]　抛物线y2＝2px的准线为：x＝－，由抛物线定义得：3－＝p，解得p＝6，抛物线方程为y2＝12x，而M(3，t)在抛物线上，则t2＝36，原点为O，即有|MO|＝＝3，所以M到坐标原点的距离为3.12．(2023·安徽A10联盟摸底)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，且A，M在同一象限，则|AM|＋4|BN|的最小值为_12__.[解析]　解法一：显然直线l不与y轴垂直，设直线l：x＝my＋3，联立得y2－12my－36＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝12m，y1y2＝－36，x1x2＝＝9，∴|AM|＋4|BN|＝(|AF|－3)＋4(|BF|－3)＝x1＋4x2≥2＝12，当且仅当x1＝4x2＝6时，等号成立．解法二：由题意知p＝6，∴＋＝＝.∴|AF|＋4|BF|＝3(|AF|＋4|BF|)＝3≥3＝27(当且仅当|AF|＝2|BF|时取等号)，又圆C2的圆心为(3,0)，半径为r＝3，∴(|AM|＋4|BN|)min＝|AF|＋4|BF|－5r＝12.13．(2023·湖北“腾云联盟”联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l与x轴的交点为H，抛物线C的焦点为F，过点H的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，|BF|＝4|AF|，则＝_16__；若AB的中点到准线l的距离为，则p＝_4__.[解析]　由题可知H，设直线AB：x＝ty－，代入抛物线方程可得，y2－2pty＋p2＝0，则y1y2＝p2，因为|BF|＝4|AF|，所以y2＝4y1，又x1＝，x2＝，∴＝＝16，x1x2＝＝＝16x，∴x1＝，x2＝2p，又AB的中点到准线l的距离为，∴＋＝，即x1＋x2＋p＝，∴＋2p＋p＝，即p＝4.四、解答题14．(2023·内蒙古包头调研)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点A(2,1)，过F且斜率为k(k<0)的直线l与C交于M，N两点，|MN|＝8.(1)求C和l的方程；(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．[解析]　(1)设C的方程为x2＝2py，代入点A的坐标得p＝2，所以C的方程为x2＝4y.所以焦点F的坐标为(0,1)，设l的方程为y＝kx＋1(k<0)且M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组整理得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，Δ＝16k4＋16k2>0，所以y1＋y2＝2＋4k2，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝＋＝y1＋y2＋2＝4＋4k2.由题设知4＋4k2＝8，解得k＝－1或k＝1(舍去)，所以l的方程为y＝－x＋1.(2)由(1)得线段MN的中点坐标为(－2,3)，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝x＋2，即y＝x＋5，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则解得或即圆心坐标为C1(－2,3)或C2(6,11)，又由抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，可得点C1(－2,3)或C2(6,11)到准线y＝－1的距离分别为d1＝4或d2＝12，即圆的半径分别为r1＝4或r2＝12，所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16或(x－6)2＋(y－11)2＝144.15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A(x0,1)在抛物线C上，且|AF|＝3.(1)求抛物线C的方程及x0的值；(2)设点O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线l交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)两点，点Q为抛物线C上异于M、N的一点，若＝＋t，求实数t的值．[解析]　(1)由题意知抛物线的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义得|AF|＝1＋＝3，所以p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y，焦点F(0,2)，当y＝1时，x0＝±2.(2)易知直线l的方程为y＝x＋2，联立得x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，所以M，N(8,8)，设点Q的坐标为(x3，y3)，由＝＋t得(x3，y3)＝＋t(8,8)＝，所以因为点Q在抛物线x2＝8y上，所以(8t－2)2＝8，解得t＝或t＝0(舍)，所以t的值为.B组能力提升1．(2022·湖北黄冈模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且||＝2||，且AB中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为( D )A．1  B．2 C．  D．3[解析]　l为抛物线的准线，AC⊥l于C，BD⊥l于D，由题意知|AC|＋|BD|＝6，又||＝2||，∴|AC|＝2|BD|，∴|AC|＝4，又|HF|＝2，∴AF的中点到准线的距离为3，故选D.2．(2022·云南师大附中月考)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( C )A．(2,6)  B．(6,8)C．(8,12)  D．(10,14)[解析]　抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴三角形FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，则xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，故选C.3．(多选题)(2023·浙江Z20名校联盟联考)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，C的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，则( ABD )A．线段AB长度的最小值为4B．若线段AB中点的横坐标为2，则直线AB的斜率为1C．∠AMB>D．∠AMO＝∠BMO[解析]　如图，过A、B作准线y＝－1的垂线，垂足分别为H、G，设线段AB的中点为C，C在准线上的射影为D.当线段AB为通径时长度最小为2p＝4，故A正确；因为kAB＝＝1，故B正确；因为直线y＝－1为拋物线的准线，由抛物线定义可知弦AB的中点到准线的距离CD等于(|BG|＋|AH|)＝|AB|，故以AB为直径的圆与直线y＝－1相切，所以点M在该圆的圆上或者圆外，故C错误；由题意M(0，－1)，设A，B，直线AB的方程为y＝mx＋1，则可得x2－4mx－4＝0，所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4，kMA＝＝＋，kMB＝＝＋，∴kMA＋kMB＝＋＋＋＝＋＝－＝0，所以直线MA与直线MB的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO＝∠BMO，故D正确(D选项也可用平面几何三角形相似得到)，故选ABD.4．(2022·河南九师联盟摸底)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝5，则△ABO的面积为 　.[解析]　解法一：由已知可得p＝2.如图过A作AA1⊥l，垂足为A1，则由抛物线的定义得|AA1|＝|AF|，l为准线，∴xA＋＝5，xA＝4，代入y2＝4x，得y＝±4，不妨记A(4,4)．又F(1,0)，直线AB方程为＝，即x＝y＋1，代入y2＝4x得y2＝3y＋4，yB＝－1，∴S△AOB＝|OF|(|yA|＋|yB|)＝×1×(4＋1)＝.解法二：由p＝2知＋＝＝1，又|AF|＝5，∴|BF|＝.作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，BH⊥AA1于H(l为准线)，则cos∠OFB＝cos∠HAB＝＝＝，从而sin∠OFB＝，∴O到直线AB的距离d＝|OF|·sin∠OFB＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝.5．(2023·辽宁六校协作体联考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆：＋y2＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)记P(4,0)，若抛物线C上存在两点B，D，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．[解析]　(1)由椭圆方程可得其右焦点为(1,0)，∵抛物线与椭圆右焦点重合，∴＝1，即p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，准线为x＝－1.(2)设直线BD的方程为y＝kx＋m，联立直线与抛物线方程可得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2>0，可得km<1，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝，设BD的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，∵△PBD为以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，则kPM＝＝＝－，整理可得km＝2－2k2，∵km<1，则2－2k2<1，解得k<－或k>，故直线BD的斜率的取值范围为∪.