新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案44第八章解析几何第一讲直线的倾斜角斜率与直线的方程

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案44第八章解析几何第一讲直线的倾斜角斜率与直线的方程，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
练案[44]  第八章　解析几何 第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、单选题1．(2022·浙江衢州质检)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( D )A.  B． C．  D．[解析]　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )A．k1<k2<k3  B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1  D．k1<k3<k2[解析]　直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.3．(2023·福建龙岩等四地市质检)直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则( C )A．a<0，b<0  B．a<0，b>0C．a>0，b<0  D．a>0，b>0[解析]　因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－<0，可得a>0，该直线在y轴上的截距－>0，可得b<0.故选C.4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( B )A．2x＋y＝0  B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0  D．x－2y－5＝0[解析]　设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0.5．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( D )A．x＋y－3＝0  B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0  D．3x＋y－6＝0[解析]　记直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝2，∴所求方程直线的斜率为k＝tan(θ＋45°)＝＝－3，又M(2,0)，∴所求直线方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选D.6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( D )A.B.∪(1，＋∞)C.∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪[解析]　记B(－3,0)，C(3,0)，则kAB＝＝，kAC＝＝－1.结合图形可知直线l斜率的取值范围为∪(－∞，－1)．7．无论t取何值，直线(2t＋3)x＋ty＋5t＋6＝0恒过定点P，则点P为( C )A．(2,1)  B．(－2,1)C．(－2，－1)  D．(2，－1)[解析]　直线(2t＋3)x＋ty＋5t＋6＝0可化为(2x＋y＋5)t＋3x＋6＝0，令解得即直线(2t＋3)x＋ty＋5t＋6＝0恒过定点P(－2，－1)．故选C.8．(2023·辽宁沈阳重点高中联合体期中)设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( D )A.∪B.C.D.∪[解析]　∵直线ax＋y＋2＝0过定点C(0，－2)，且kAC＝－，kBC＝，由图可知直线与线段AB有交点时，斜率－a满足≤－a或－a≤－，解得a∈∪，故选D.9．(2023·云南模拟)若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为( C )A．－，  B．－，C．－，  D．－，[解析]　如图，△ABC为正三角形，设AB的倾斜角为α，则tan α＝kAB＝3，则kBC＝tan＝，kAC＝tan＝－，故选C.二、多选题10．下列说法正确的是( CD )A.＝k能表示过点M(x1，y1)且叙率为k的直线方程B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为|b|D．过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0[解析]　A中当x＝x1时显然没有意义，故A错误．显然当a＝0或b＝0时，直线的方程不能写成＋＝1，故B错误，C、D正确．11．下列说法正确的是( AB )A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0[解析]　A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，正确；又在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，∴B正确；C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.12．(2022·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( BD )[解析]　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合；当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项D符合；当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故选BD.13．经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( AB )A．x－y＋1＝0  B．x＋y－7＝0C．2x－y－2＝0  D．2x＋y－10＝0[解析]　由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.故选AB.三、填空题14．(2023·江西新余一中开学考)过点A(－5,2)，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线的一般方程是_2x＋5y＝0或2x＋y＋8＝0__.[解析]　若直线过原点，设其方程为y＝kx.则2＝－5k，∴k＝－，所求直线方程为2x＋5y＝0；若直线不过原点，设其方程为＋＝1，则＋＝1，∴a＝－4，所求直线方程为2x＋y＋8＝0.15．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为_x－2y－1＝0__.[解析]　设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴点C的坐标为(－5，－3)，则kBC＝＝，∴BC的方程为y－3＝(x－7)，即x－2y－1＝0.B组能力提升1．(2023·江苏张家港高二期中)若直线l的方向向量是(1，sin θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是( D )A．[0，π)  B．C.  D．∪[解析]　由题意直线l的斜率k＝sin θ，所以－1≤k≤1，则0≤α≤或≤α<π.故选D.2．(多选题)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( ABC )A．x－y＋1＝0  B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0  D．x－y－1＝0[解析]　当直线l过原点时，直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线l不过原点时，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则设直线l的方程为＋＝1(a≠0)．因为直线l过点A(1,2)，所以＋＝1，解得a＝3，所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－3＝0.若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设直线l的方程为＋＝1(b≠0)．因为直线l过点A(1,2)，所以＋＝1，解得b＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上可知，直线l的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.故选ABC.3．(2022·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为_16__.[解析]　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，又ab>0，∴a<0，b<0，所以1＝2≥4，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.4．(2022·陕西渭南一模)已知A(2,4)，B(3,3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，则的取值范围是_[1,2]__.[解析]　设k＝，则k可以看成过点P(a，b)与坐标原点O的直线的斜率．当点P在线段AB上由B点运动到A点时，直线OP的斜率由kOB增大到kOA，如图所示．又kOB＝＝1，kOA＝＝2，所以1≤k≤2，即的取值范围是[1,2]．5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程，[解析]　(1)证明：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然x＝－2，y＝1时对任意k方程都成立，故直线过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得＝4，解得k＝或k＝或k＝－，故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2－3)x－2y＋4(－1)＝0或(2＋3)x＋2y＋4(＋1)＝0.(4)又－<0，且1＋2k>0，∴k>0，∴S＝＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.