新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案48第八章解析几何第五讲椭圆

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案48第八章解析几何第五讲椭圆，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[48] 第五讲　椭圆A组基础巩固一、单选题1．(2022·重庆名校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率是，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )A.＋＝1  B．＋y2＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由题意知4a＝4，∴a＝，又e＝＝，∴c＝1，从而b2＝a2－c2＝2，又焦点在x轴上，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.2．(2023·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( B )A.  B． C．  D．[解析]　不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离＝⇒e＝＝，故选B.3．(2023·安徽六安示范性高中质检)过点，且与双曲线－y2＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( D )A.＋＝1  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由题意c＝2，双曲线－y2＝1的左焦点为F1(－2,0)，右焦点为F2(2,0)，设P，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，所以a＝，b2＝10－4＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.故选D.4．(2022·安徽宣城模拟)设椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值是( D )A．14  B．17 C．20  D．23[解析]　由题意知a＝5，b＝4，∴c＝＝3.且||＋||＝10，又·＝9，∴||·||·cos ∠F1PF2＝9.又62＝||2＋||2－2||·||·cos ∠F1PF2＝(||＋||)2－2||·||－18＝82－2||·||，∴|PF1|·|PF2|＝23.故选D.5．(2023·辽宁沈阳市郊联合体期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为( D )A.＋＝1  B．＋y2＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　直线AB的斜率k＝＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得：＋＝1，＋＝1，相减化为：－＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.可得：椭圆M的方程为＋＝1.故选D.6．(2022·四川广安诊断)已知A，F分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和右焦点，P是椭圆上一点，直线AP与直线l：x＝相交于点Q.且△AFQ是顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为( C )A.  B． C．  D．[解析]　如图，设直线l与x轴的交点为H，由△AFQ是顶角为120°的等腰三角形，知|FQ|＝|FA|＝a＋c，∠QFH＝60°.于是，在Rt△FQH中|FH|＝|FQ|.而|FH|＝－c＝，故＝.又a2＝b2＋c2得3c2＋ac－2a2＝0，即3e2＋e－2＝0，解得e＝.故选C.7．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( C )A．2  B． C．  D．[解析]　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.故选C.8．(2023·河南濮阳摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( A )A.  B．C.  D．[解析]　由题意及椭圆的对称性知∠F1MF2＝.设椭圆上顶点为H，则∠F1HF2>，即∠OHF2>，∴c>b，∴c2>a2－c2，解得e＝>，又0<e<1，∴<e<1，故选A.二、多选题9．(2023·山东济宁期末)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( BC )A．C的焦距为  B．C的离心率为C．圆D在C的内部  D．|PQ|的最小值为[解析]　依题意可得c＝＝，则C的焦距为2，e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥>，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－＝，故选BC.10．(2022·江苏如皋中学期初测试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为6，焦点为F1、F2，长轴的端点为A1、A2，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是( ABD )A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为＋＝1B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则e＝C．若椭圆C上存在点M使·＝0，则e∈D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切[解析]　对于A选项，△MF1F2的周长为2a＋2c＝2a＋6＝16，则a＝5，∴b＝＝4，即椭圆的方程为＋＝1，所以A正确；对于B选项，当△MF1F2的面积最大时，点M为短轴端点，又∠F1MF2＝120°，所以在△MF1O中，sin 60°＝＝＝e＝，所以B正确；对于C选项，设H为短轴的端点，则∠OHF2≥，即c≥b，∴c2≥a2－c2，解得e＝≥，又0<e<1，∴e∈，所以C错误；对于D选项，设MF1的中点为N，设圆N与圆O的半径分别为r1、r2，则r2＝a，则两圆的连心线的距离为|ON|＝|MF2|＝(2a－|MF1|)＝a－|MF1|＝r2－r1，所以两圆内切，D正确．故选ABD.11．(2023·湖北联考)第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列正确的是( BCD )A．a－a<b－bB．a1－a2>b1－b2C．如果两个椭圆C2，C1分别是同一个矩形(此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行)的内切椭圆(即矩形的四条边与椭圆C2均有且仅有一个交点)和外接椭圆，则＝D．由外层椭圆C1的左顶点A向内层椭圆C2分别作两条切线(与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线)与C1交于两点M，N，C1的右顶点为B，若直线AM与BN的斜率之积为，则椭圆C1的离心率为[解析]　选项A：因为＝，且a1>a2，所以a－b>a－b，即a－a>b－b，故不正确；选项B：由＝，得1－＝1－，则a2＝，所以a1－a2＝a1－＝(b1－b2)>b1－b2，故正确；选项C：F(a2，b2)满足椭圆C1方程＋＝1，又因为＝，则＝，所以22＝1，＝，故正确；选项D：由对称性知，M、N关于x轴对称，A(－a1，0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，B(a1,0)，kAM＝，kBN＝，kAMkBN＝＝＝＝，e＝＝，故正确．故选BCD.三、填空题12．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_8__.[解析]　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48，所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn，mn＝8，即四边形PF1QF2面积等于8.13．(2023·广西柳州摸底)已知A(3,1)，B(－3,0)，P是椭圆＋＝1上的一点，则|PA|＋|PB|的最大值为_9__.[解析]　根据题意可得：a＝4，b＝，c＝3，则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3,0)，∴|PB|＋|PF|＝8，即|PB|＝8－|PF|，∵＋<1，即点A在椭圆内|PA|＋|PB|＝|PA|－|PF|＋8≤|AF|＋8＝9，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立．14．(2022·河北张家口模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则椭圆C的离心率是 －1　.[解析]　设右焦点为F′，连接AF′，BF′.因为2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cos ∠BAF＝c，|BF|＝2c·sin ∠BAF＝c.由椭圆的定义可得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝(＋1)c，所以离心率e＝＝＝－1.四、解答题15．(2023·宁夏中卫模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与直线l：x－y＋＝0有且只有一个公共点．(1)求椭圆E的方程；(2)过点M(1,0)的直线l2与椭圆E交于两点A，B，若＝2，求直线l2的方程．[解析]　(1)由椭圆E的离心率为，得＝，a2＝4b2，故椭圆方程为＋＝1，x2＋4y2－4b2＝0，把y＝x＋代入并整理，得5x2＋8x＋20－4b2＝0，因为E与l1有且只有一个公共点，所以Δ＝80(b2－1)＝0，解得b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)当直线l2的斜率为0时，则A，B的坐标为(－2，0)，(2,0)，不符合＝2，故直线l2的斜率不为0，设直线的方程为x＝ty＋1，代入椭圆方程得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，则Δ＝4t2＋12(t2＋4)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，由＝2，得－y1＝2y2，得y1＝，y2＝，从而＝，解得t＝±，故直线l2的方程为x＝±y＋1，即x±2y－＝0.B组能力提升1．(2022·云南昆明“三诊一模”质检)已知椭圆M：＋＝1(a>)，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|＝2|BF|，则M的方程为( A )A.＋＝1  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设A为上顶点，F为右焦点，F1为左焦点．则|AF|＝|AF1|＝a，|BF|＝a，|BF1|＝a，cos∠AFF1＝－cos∠BFF1，由余弦定理得＝－，a2＝3c2，结合b2＝2，a2＝b2＋c2解得a2＝3，所以M的方程为＋＝1.故选A.2．(2023·福建龙岩等四地市质检)已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A、B两点，且满足AF1⊥AB，＝，则该椭圆的离心率是( B )A.  B． C．  D．[解析]　如下图所示：设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，因为AF1⊥AB，则|BF1|＝＝5x，由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，则x＝，所以|AF1|＝4x＝，则|AF2|＝2a－＝，由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，则2＋2＝4c2，则c＝a，因此，该椭圆的离心率为e＝＝.故选B.3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为 x＋y－2＝0　.[解析]　令AB的中点为E，因为|MA|＝|BN|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，即M，N(0，m)，所以E，即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.4．(2023·浙江温州适应性考试)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 　.[解析]　|MF1|·|MF2|＝|MF1|(2a－|MF1|)＝－|MF1|2＋2a|MF1|＝－(|MF1|－a)2＋a2，|MF1|＝a时，|MF1|·|MF2|取最大值a2，|MF1|∈[a－c，a＋c]，|MF1|·|MF2|最小值－c2＋a2＝b2，∴a2＝2b2＝2c2，∴e＝.5．(2023·四川内江零模)已知A，B是椭圆C：＋y2＝1上的两点．(1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值；(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围．[解析]　(1)设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝48－12m2>0，所以|AB|＝＝＝≤.当m＝0(满足Δ>0)时，|AB|取得最大值.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，第一种情况，若直线AB平行于x轴，则线段AB的垂直平分线为y轴，即t＝0，第二种情况，若直线AB不平行于x轴，又因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x1≠x2，由两式相减整理得·＝－　①，因为M(x0，y0)是AB的中点，所以2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，因为MN⊥AB，所以kAB＝＝－＝，所以①变形为·＝－，化简得t＝x0，其中－<x0<0或0<x0<，所以－<t<0或0<t<，综上两种情况，t的取值范围为.