高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系课时训练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章　§4　4.1　4.2 A　组·素养自测一、选择题1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　B　)A．1　　 B．2　　C．3　　 D．4[解析]　由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1,2)，则下列各点在平面α内的是(　C　)A．(－4,4,0)　　 B．(2,0,1)C．(2,3,3)　　 D．(3，－3,4)[解析]　设P (x，y，z)，若点P在平面α内，则n·＝0，则2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，经过验证只有点(2,3,3)满足，故选C．3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　A　)A．(1，－1,3)　　 B．(1，－1，－3)C．(2，－3,6)　　 D．(－2,3，－6)[解析]　设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，F，所以＝，＝.设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1,3)．故选A．4．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　ABC　)A．⊥　　 B．⊥C．⊥　　 D．⊥[解析]　∵是平面ABCD的法向量，∴⊥，⊥，又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴⊥.与不一定垂直．二、填空题5．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1，2，z)两点，则y＝___，z＝___.[解析]　因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，故＝＝，故y＝，z＝.6．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是_②③④__.[解析]　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线且垂直．三、解答题7．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC.[证明]　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝－(－)＋＋(＋)＝－＋＝－，∴与、共面，∴∥平面BCP，∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP.8．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求cos〈，〉的值；(2)求证：BN⊥平面C1MN.[解析]　以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，N(1,0,1)，∴M，∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，∴⊥，⊥，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，且C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，C1M∩C1N＝C1.∴BN⊥平面C1MN.B　组·素养提升一、选择题1．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　B　)A．异面直线　　 B．平行直线C．垂直不相交　　 D．垂直且相交[解析]　取D点为坐标原点建系后，＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，设＝(a，b，c)，则取＝(1,1，－1)．∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1.2．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则直线l1和l2的位置关系是(　A　)A．平行　　 B．相交C．垂直　　 D．不确定[解析]　v2＝－2v1，∴l1与l2平行．3．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与哪个坐标平面平行(　C　)A．xOy　　 B．xOzC．yOz　　 D．xOy或yOz[解析]　＝(0,5，－3)，则在平面yOz上，则线段AB与平面yOz平行．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　A　)A．BD　　 B．AC　　C．A1D　　 D．A1A[解析]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0)，A1(1,0,1)，E，∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，·＝－1≠0，·＝－≠0，·＝－1≠0，∴CE⊥BD.二、填空题5．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是_－3__.[解析]　∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，∵l∥平面ABC，所以存在实数λ，μ，使a＝λ＋μ，即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)，∴λ＝2，m＝μ，－λ－μ＝1，解得m＝－3.6．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为_或__；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为_(－2,4,1)或(2，－4，－1)__.[解析]　根据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n＝或n＝.若n与平面ABC垂直，则即可得又因为|n|＝，所以＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n＝(－2,4,1)或n＝(2，－4，－1)．三、解答题7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.[解析]　以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，所以·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.8．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D.[解析]　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c，＝b＋c，＝＋＝c＋(a＋b)．设存在实数x，y，使得＝x＋y成立，则a＋c＝x(b＋c)＋y＝a＋b＋(x＋y)c.因为a，b，c不共线，所以解得所以＝－＋2，即向量，，共面．因为向量不在，所确定的平面OC1D内，所以B1C∥平面OC1D.