高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章　§3　3.2　 A　组·素养自测一、选择题1．已知A(3，－2,4)、B(0,5，－1)，若＝，(其中O为坐标原点)则C的坐标是(　B　)A．　　 B．C．　　 D．[解析]　∵＝(－3,7，－5)，∴＝(－3,7，－5)＝.故选B．2．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　C　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，又因为〈a，c〉∈[0，π]，所以〈a，c〉＝.3．已知点A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　C　)A．等腰三角形　　 B．等边三角形C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形[解析]　＝(3,4，－8)、＝(5,1，－7)、＝(2，－3，1)，∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.∴△ABC为直角三角形．4．已知a＝(1,0,2)，b＝(－1,1,0)，c＝(－1，y,2)，若a，b，c三向量共面，则实数y的值为(　D　)A．－2　　 B．－1　　C．0　　 D．2[解析]　∵a，b，c共面，∴c＝λa＋μb，∴(－1，y,2)＝(λ－μ，μ，2λ)，∴得y＝2.5．已知a＝(2,4，x)、b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是(　A　)A．－3或1　　 B．3或－1C．－3　　 D．1[解析]　∵|a|＝6，∴|a|2＝36，∴4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4.又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，∴x＋2y＋2＝0.当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.6．(多选)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2,2λ，3)，a与b的夹角为90°，则λ的可能取值为(　AD　)A．－2　　 B．－1　　C．1　　 D．2[解析]　∵a与b的夹角为90°，∴a·b＝0，∴－2＋2λ2－6＝0，∴λ2＝4，λ＝±2.二、填空题7．若向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)＝_3__.[解析]　∵b＋c＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.8．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_∪__.[解析]　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－<0，所以t<.若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λ，所以解得故t的取值范围是∪.三、解答题9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋x垂直？[解析]　＝(6，－5,5)，＝(1，－3,6)，＋x＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，∵⊥(＋x)∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，∴x＝－，∴存在实数x＝－，使与＋x垂直．10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求该三棱柱的侧棱长；(2)若M为BC1的中点，试用向量，，表示向量；(3)求cos〈，〉．[解析]　(1)设该三棱柱的侧棱长为h，由题意得A(0，－1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，所以h＝.(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋－)＝＋＋.(3)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，所以·＝－3＋1＝－2，||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－.B　组·素养提升一、选择题1．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　B　)A．2　　 B．3　　C．4　　 D．5[解析]　设BC边上的中点为D，则＝(＋)＝(－1，－2,2)，所以||＝＝3.2．下列各组向量中共面的组数为(　D　)①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)④a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)A．0 　　　　　 B．1 　　　　　C．2 　　　　　 D．3[解析]　①设a＝xb＋yc，则解得故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，∴a，b，c共面．②中b＝－2c，③中c＝a－b.故②③中三个向量共面．④设a＝xb＋yc，则显然无解，故a，b，c不共面．3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　A　)A．　　 B．　　C．4　　 D．8[解析]　设a与b夹角为θ，则cos θ＝＝，sin θ＝，∴S＝2××3×3×＝.4．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为(　C　)A．　　 B．C．　　 D．[解析]　点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·最小为－，此时＝，故选C．二、填空题5．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点的坐标为_(－1,0,2)__.[解析]　＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，∴∴∴P(－1,0,2)．6．已知向量a＝(3,5,1)，b＝(2,2,3)，c＝(4，－1，－3)，则向量2a－3b＋4c的坐标为_(16,0，－19)__.[解析]　2a－3b＋4c＝(6,10,2)－(6,6,9)＋(16，－4，－12)＝(16,0，－19)．三、解答题7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．建立空间直角坐标系，(1)求cos〈，〉；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．[解析]　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E，从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．则cos〈，〉＝＝＝.∴〈，〉的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，则＝，由NE⊥平面PAC可得，即化简得∴即N点的坐标为.8．已知A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点坐标．(1)＝(－)(O为坐标原点)；(2)＝(－)．[分析]　利用空间向量的坐标运算公式．[解析]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．(1)＝(－)＝(6,3，－4)＝，则P点坐标为.(2)设点P坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．(－)＝，则解之，得则点P的坐标为.