高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系完美版课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系完美版课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了用向量解决平行与垂直，三垂线定理，线影垂直，线线垂直，三垂线定理的逆命题，思考题想一想，一线线平行，二线面平行，三面面平行，立体几何呢等内容，欢迎下载使用。
我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题． 我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、 平面的位置关系和度量问题．
1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.
1.设 分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.
有的问题比较简单，只是将几何语言转化为向量语言，如证明两条直线平行可以转化为证明这两条直线的方向向量是否共线.但有的问题较为复杂，不仅仅是几何语言与向量语言的转化，还涉及证明的方法，如用向量方法证明l∥α，可以有以下几种思路：
思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n₁是平面α的法向量，则只需证明l⊥n₁.
思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到如下证明方法：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α.
用向量解决平行与垂直解读
思路3直接将线面平行的判定定理向量化，找到m⊂α，且直线l与m的方向向量共线. 
由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述，另一方面也需要结合向量自身的特点. 
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交且双垂且，那么该直线与此平面垂直.
设m是平面α内的任意一条直线，要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢?可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示.
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 
由线线垂直可以得到线面垂直，再由线面垂直又可以得到线线垂直。
平面的斜线、斜线在平面内的射影
如图2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α,
思考：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？
答案：仍是一条直线BA
--------叫做平面α的斜线；
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
一面——平面α（基础平面） ；
四线——PB（ α的垂线）， PA（斜线），BA（射影）， m（ α内的直线））
三垂直——PB ⊥ m,, BA ⊥ m, PA⊥ m
三垂线定理中的元素（1）
直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。
例如：当 b⊥ α时， 则 b⊥OA
注意：定理中“在平面内”的条件不能去掉。
三垂线定理中的元素（2）
平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由。
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立空间直角坐标系.
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点， (1)求证：PA//平面EDB.
连结AC交BD于点G，再连结GE.
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
设平面EDB的法向量为
共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，
则向量 与向量 ， 共面的充要条件是
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
解得 x＝－２,ｙ＝１
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点， (1)求证：PA//平面EDB.
解5 不建坐标向量法
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，PF=FG=GC . 求证：面AEF//面BDG.
证明：如图所示建立空间直角坐标系
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，PF=FG=GC . 求证：面AEF//面BDG.
例4 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
MN就是异面直线AB与CD的公垂线，
故异面直线AB与CD的距离就是MN.
∴MN⊥AB, 同理 MN⊥CD.
证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
证明2：立体几何法
设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
平面C1BD的一个法向量是
设平面EBD的一个法向量是
空间中平行与垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
利用空间向量解决平行与垂直问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行与垂直问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.