2024届高三数学一轮复习基础夯实练27：三角函数的图象与性质

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基础夯实练27  三角函数的图象与性质1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)A.B.C.D.2．(2023·赣州模拟)已知f(x)＝sin2－，则f(x)是(　　)A．奇函数且最小正周期为πB．偶函数且最小正周期为πC．奇函数且最小正周期为2πD．偶函数且最小正周期为2π3．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　)A．1  B．2  C．3  D．44．(2023·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是(　　)A.  B.  C.  D.5．(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)的最大值为B．f(x)在区间上单调递增C．f(x)的图象关于点对称D．f(x)的最小正周期为π6．(多选)(2023·汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是(　　)A．f(x)的值域为B．f(x)在上单调递增C．f(x)的图象不关于直线x＝对称D．π是f(x)的一个周期7．(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________.8．(2023·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，则φ的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．         10．(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f ，求g(x)在区间上的最大值．条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．          11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能(　　)A．单调递增   B．单调递减C．有最大值   D．有最小值12．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　)A．f(x)在区间上单调递减B．f(x)在区间上有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线13．(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.14．(2023·唐山模拟)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________．15．已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　)A．2  B．4  C．2π  D．4π16．(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．
参考答案1．D　2.A　3.A　4.B5．AB　[f(x)＝sin x－cos x＝sin，对于A，f(x)max＝，A正确；对于B，当x∈时，x－∈，由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．]6．ACD　[f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos 2(x＋π)＝|sin x|＋cos 2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，令t＝sin x，g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，t∈[0,1]，可知其值域为，故A正确；对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减，因为t＝sin x，t∈[0,1]，所以f(x)在上不单调，故B不正确；对于C，因为f(0)＝1，f ＝0，所以f(0)≠f ，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C正确．]7．tan x(答案不唯一)8.≤φ≤π9．解　(1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x－∈，则sin∈[－1,1]，∴f(x)∈，∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.10．解　(1)选择条件①②：由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x.(2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin，化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，g(x)取最大值.11．B　[当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，因为－<φ<，所以－<ωx＋φ<＋ω，令ωx＋φ＝t，所以y＝sin t，当－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z时，y＝sin t单调递增，故f(x)在(0,1)上不可能单调递减．]12．AD　[因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．]13．2sin(答案不唯一)解析　对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝，又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．14.解析　∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]，∴sin x＝－cos y∈[－1,1]，∴cos y∈，即cos y∈，∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y)＝cos2y－cos y－＝2－1，又cos y∈，利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，(sin x－sin2y)max＝2－1＝.15．B　[令f(x)＝＋3sin πx＝0，则＝－3sin πx，所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sin πx图象交点的横坐标，因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两函数图象如图所示，共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.]16.　解析　当x∈，k∈Z时，f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，当x∈，k∈Z时，f(x)＝sin x－cos x＝2sin，令－≤x＋≤，则－≤x≤，所以函数f(x)的一个单调递增区间为.f(x)＝则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1，令－≤x－≤，则－≤x≤，所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．令≤x－≤，则≤x≤，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时，令f(x)＝1，则x＝，因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，所以≤a≤.