2024届高三数学一轮复习基础夯实练30：正弦定理、余弦定理

基础夯实练30  正弦定理、余弦定理

1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　)

A.  B.  C．6  D．5

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为(　　)

A．14  B．7  C.  D.

3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)

A．2   B．2

C．2－2   D．1

4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D．2

5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 (　　)

A.   B.

C.   D.

6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰三角形   B．直角三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

7．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝        .

8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为        ．

9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.

(1)求B；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．

10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B.

(1)求角A的大小；

(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．

11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)

A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形

B．若A>B，则sin A>sin B

C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个

D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　)

A．abc＝16

B．若a＝，则A＝

C．△ABC外接圆的半径R＝2

D．2≥32sin C

13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是        ．

14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝        .

15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝，则下列命题正确的是(　　)

A．△ABC的周长为5＋

B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C

C．△ABC的外接圆半径为

D．△ABC的中线CD的长为

16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝        .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为        ．

参考答案

1．B　2.D　3.B　4.A　5.C

6．C　[∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，

∴根据正弦定理得，2cos B(sin A·cos C＋cos Asin C)＝sin B，

∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，

∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，

即2cos Bsin B＝sin B，

∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，

∴cos B＝，∴B＝.

∵lg sin C＝lg 3－lg 2，

∴lg sin C＝lg ，∴sin C＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝或，

∵B＝，∴C≠，∴C＝，

∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．]

7.－1

解析　设BD＝k(k>0)，

则CD＝2k.

根据题意作出大致图形，如图．

在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·

＝k2＋2k＋4.

在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·

＝4k2－4k＋4，

则＝

＝

＝4－＝4－

＝4－.

∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，

∴≥4－＝4－2

＝(－1)2，

∴当取得最小值－1时，

BD＝k＝－1.

8.

9．解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，

即sin Bcos C＋cos Bsin C

＝2sin Acos B，

∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，

∴sin A＝2sin Acos B，

又∵sin A≠0，∴cos B＝，

∵B为三角形内角，∴B＝.

(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，

∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，

∴a＝，c＝2，

∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.

10．解　(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，

由正弦定理得

sin Bcos A＝sin Asin B，

∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，

即tan A＝，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，

由余弦定理得cos A＝＝＝，

即b2＋c2－bc＝bc，

∴(b－c)2＝0，∴b＝c，

又由(1)知A＝，

∴△ABC为等边三角形．

11．ABD　[对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；

对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；

对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；

对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cos C＝<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确．]

12．B　[由题可得absin C＝2，

则sin C＝，

代入sin Asin Bsin C＝，

得＝，

即R2＝8，即R＝2，C正确；

abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128×＝16，A正确；

若a＝，则sin A＝＝＝，此时A≠，B错误；

因为sin A>0，sin B>0，

所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，

所以≥，

由sin Asin Bsin C＝，

得＝32sin C，

所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．]

13．6

解析　∵csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，

∵sin A≠0，故tan C＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝，

再由余弦定理得cos C＝＝＝，

代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.

14．9

解析　在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，

在△ACD中，结合余弦定理得

cos∠ADC＝，

由题意知BD＝CD，

∠ADB＋∠ADC＝π，

所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，

所以＋＝0，

即＋＝0，

解得CD＝，

所以BC＝9.

15．ABD　[因为△ABC满足

sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，

所以a∶b∶c＝2∶3∶，

设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，

利用余弦定理cos C＝

＝＝，

由于C∈(0，π)，

所以C＝.

对于A，因为S△ABC＝，

所以absin C＝·2t·3t·

＝，解得t＝1.

所以a＝2，b＝3，c＝，

所以△ABC的周长为5＋，故A正确；

对于B，因为C＝，

所以A＋B＝，

故A＋B＝2C，故B正确；

对于C，利用正弦定理 ＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；

对于D，如图所示，

在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，

又a<c，所以cos A＝，

在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝9＋－2×3××＝，

解得CD＝，故D正确．]

16.　2

解析　在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，

而a2＋c2＝b2＋ac，

∴cos B＝，

又0<B<π，则B＝，

在△BCE中，设∠CEB＝θ，

则＝，可得CE＝，

又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，

则∠ECA＝∠EAC＝，

∴sin＝＝，

可得cos ＝，而0<θ<π，

故＝，即θ＝.

∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2.