2024届高三数学一轮复习基础夯实练25：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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基础夯实练25  两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)A．cos 12°  B．－cos 12°  C．－  D.2．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin等于(　　)A．±  B.  C．－  D．－3．(2023·重庆模拟)若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于(　　)A．－  B．－1  C．1  D.4．(2023·西安模拟)已知2cos＝sin α，则sin αcos α等于(　　)A．－  B.  C．－  D.5．(2023·扬州质检)已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)A.  B.  C.  D.6．(2023·威海模拟)已知α∈，若tan＝－2，则cos等于(　　)A.  B.  C．－  D．－7．(2022·重庆模拟)cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．8．(2022·上海模拟)已知α，β∈，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝        .9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈，且(1)求α＋β的值；(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．         10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<，        ，cos(α＋β)＝－.(1)求sin；(2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．            11．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限12．(多选)已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝   B．cos(β－α)＝C．β－α＝   D．β－α＝－13．(2023·武汉质检)设sin＝2cos αsin ，则的值为(　　)A.  B.  C．2  D．414．(多选)下列结论正确的是(　　)A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．3sin x＋3cos x＝3sinC．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为D．sin 50°(1＋tan 10°)＝115．(2023·厦门模拟)若＝－3，则＝________.16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T 变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T 变换得到点A1，则A1的坐标为        ；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为        ．
参考答案1．D　2.C　3.A　4.D　5.B6．C　[因为α∈，则α＋∈，又tan＝－2<0，故α＋∈，则cos＝，sin＝－，故cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－.]7.　8.－9．解　(1)因为α，β∈，所以cos α>0，cos β>0，由解得cos α＝，cos β＝，所以sin α＝＝，sin β＝＝，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.(2)因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增，所以0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.10．解　(1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝＝3，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sin α＝3cos α，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝＝，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，又因为0<β<，所以β＝.11．D　[3sin x－4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，cos φ＝，所以φ所在的象限为第四象限．]12．BD　[由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝，因为α，β，γ∈，则－<β－α<，因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.]13．B　[∵sin＝2cos αsin ，∴sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，即sin αcos ＝3cos αsin ，∴tan α＝3tan ，∵cos＝cos＝sin＝sin αcos ＋cos αsin ，∴＝＝＝＝.]14．CD　[对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B,3sin x＋3cos x＝6＝6sin，故B错误；对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以f(x)的最大值为，故C正确；对于D，由sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1，故D正确．]15．2解析　依题意，＝＝＝＝－3，整理得tan α＝2tan ，所以＝2.16．(－1，)　解析　点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A1，即坐标为A1.因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，|OB|＝＝1，|OB1|＝＝5，所以ρ＝5，所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝，cos α＝，tan α＝， 并且sin(α＋θ)＝－，cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，根据tan θ＝tan[(α＋θ)－α]＝＝＝，因为π<θ<，所以sin θ＝－，cos θ＝－，所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)·cos θ－sin(α＋θ)sin θ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cos θ＋cos(α＋θ)sin θ＝×＋×＝，所以B2，即B2.