2024届高考数学-第11讲 坐标法秒解离心率问题（解析版）

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第11讲 坐标法秒解离心率问题 参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知椭圆左右焦点分别为，，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率　　A． B． C． D．【解答】解：椭圆左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，不妨令，，则，所以椭圆方程为：，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，可设，，则：，解得，可得，双曲线的离心率为：．故选：．2．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为锐角，则双曲线的离心率的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：设双曲线的方程为，由题意可得，，，，故直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，，即，，，，，，为锐角，，，，即，，故选：．3．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围为　　A．， B． C．， D．，【解答】设双曲线的方程为，由题意可得，，，，故直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，，即，，，，，是钝角，，，，即，，又，，故选：．4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于，两点在轴上方），若，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，则，，由对称性可知，若，则，△，，即，，故选：．5．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点，在上，直线垂直于轴且过的右焦点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，可得，，，，．直线方程：令，可得，，故选：．6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：，分别为椭圆的左、右焦点，设，，，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，可得，即．可得．解得．故选：．7．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，，，由，可得，即有，化简为，由，即有，由，可得，可得，故选：．8．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，设，，由垂直于轴可得，由，可得，设，由，可得，，解得，，将，代入椭圆方程可得，即，即有，则，故选：．9．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：，，．延长交圆于易知直线斜率为1，，，设，则，，由割线定理：，（负值舍去）易知：直线方程：令，即横坐标即原椭圆的离心率．故选：．10．平面直角坐标系中，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，（不同于，当取最大值时双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．【解答】解：为圆心，为半径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，代入圆的方程可得，，解得，即有，，，，，当且仅当，取得等号．则双曲线的离心率为．故选：．11．在平面直角坐标系中，设双曲线的左焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长，若圆与双曲线的两渐近线均相切，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆心，双曲线的渐近线方程为，，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则，即，则圆心坐标，圆与双曲线的两渐近线均相切，圆心到直线即的距离，即，整理得，则，则，即，则，故选：．12．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是　　A． B． C． D．【解答】解：双曲线两条渐近线分别为：，由得，，则点的坐标是，，同理可求的坐标是，，设的中点是，则的坐标是，，因为，所以，因为的斜率是，所以的斜率是，则，化简得，所以，则，所以该双曲线的离心率是，故选：．13．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　A． B． C． D．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，分别与联立，解得，，，，中点坐标为，，点满足，，，，．故选：．14．设直线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若为中点，则该双曲线的离心率是　　A． B． C． D．2【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，直线与轴交于点，由，解得，，由，解得，，因为为的中点，可得，由，，可得，即为，所以．故选：．15．设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．【解答】解：由，解得，，由，解得，．的中点坐标为，，点满足，，即，整理得：，，解得：．故选：．16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接，，，构成平行四边形，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．3【解答】解：由双曲线方程知：，，渐近线方程为；①若点在上，可设，顺次连接，，，构成平行四边形，，即，，即，不合题意；②若点在上，可设，顺次连接，，，构成平行四边形，，即，，即，；综上所述：双曲线的离心率．故选：．17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线渐近线上一点，且，若，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．3【解答】解：联立，，．所以，，．所以，，所以，所以，因为，所以，所以．所以双曲线的离心率为2．故选：．18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．【解答】解：双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，，，，即，即，即，得，故选：．二．填空题（共7小题）19．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是　　．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，则与直线联立，可得，，，，中点坐标为，，点满足，，，，．故答案为：．20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率　2　．【解答】解：由双曲线的方程可得，设双曲线的半焦距为，则，双曲线的渐近线方程为，由平行四边形，可得在渐近线上，由，可得，设的方程为，与联立，解得，，又，即有，化为，即为，所以．故答案为：2．21．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：由题意可知，经过第一象限的渐近线方程为，过点且与渐近线垂直的直线相交于点，，解得，，，即，，，即，，故答案为：．22．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（不同于，若双曲线右支上存在点满足，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：，即，右焦点，所以到渐近线的距离，在直角三角形中可得，所以，，所以可求得，，因为，则可得为，的中点，所以，把代入双曲线，可得，整理可得，所以．故答案为：．23．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 　　．【解答】解：如图，以为直径的圆的方程为，又圆的方程为，所在直线方程为．把代入，得，再由，得，即，，解得．故答案为：．24．设是椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于，两点，分别过，作椭圆的切线并相交于点，线段为坐标原点）交椭圆于点，满足，且，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：，可取，满足，，．设，，，，可得过点，的切线方程分别为：，．联立解得．设直线的方程为：，，，解得．故答案为：．25．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　2　．【解答】解：如图，依题意可知，即可得，，设，由，可得，故，，，整理可得，，，，故答案为：2．