专题24 立体几何解答题最全归纳总结-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题24 立体几何解答题最全归纳总结
【题型归纳目录】
题型一：非常规空间几何体为载体
题型二：立体几何存在性问题
题型三：立体几何折叠问题
题型四：立体几何作图问题
题型五：立体几何建系繁琐问题
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
题型七：利用传统方法找几何关系建系
题型八：空间中的点不好求
题型九：创新定义
【典例例题】
题型一：非常规空间几何体为载体
例1．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．

（1）设平面平面，证明：；
（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长．

例2．如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为，线段AB为圆锥底面的直径，在线段AB上，且，点是以BC为直径的圆上一动点；

（1）当时，证明：平面平面
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

例3．如图，圆锥PO的母线长为，是⊙的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．

（1）证明：；
（2）设点Q满足，其中，且二面角的大小为，求的值．

例4．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆周上一点，，四边形为矩形，点在上，且平面．

（1）请判断点的位置并说明理由；
（2）平面将多面体分成两部分，求体积较大部分几何体的体积．

例5．如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．

（1）求证：；
（2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求．

例6．如图，四边形ABCD为圆柱的轴截面，EF是该圆柱的一条母线，，G是AD的中点．

（1）证明：平面EBG；
（2）若，求二面角的正弦值．

例7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．

（1）设P是上的一点，且，求证；
（2）当，时，求二面角的大小．

例8．如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧上的一点，，点H为线段的中点，且，点G为线段上一动点．

（1）试确定点G的位置，使平面，并给予证明；
（2）求二面角的大小．

例9．坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合．拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成，如图所示．其中是下底面圆心，是上三点，是上底面对应的三点．且共线，，，，与所成角的余弦值为．

（1）若到平面的距离为，求的半径．
（2）在（1）的条件下，已知为半球面上的动点，且，求点轨迹在球面上围成的面积．

例10．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．

（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．

例11．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．

（1）证明；平面；
（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

例12．某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．

（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．

题型二：立体几何存在性问题
例13．如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．

（1）求三棱锥A-PBC的体积；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使得?若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

例14．已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

例15．已知三棱柱中，，，，．

（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

例16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．

（1）证明：；
（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．

例17．如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使．

（1）证明：平面平面；
（2）试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

例18．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．

（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由．

例19．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E为棱AA1上的点，且AE＝．

（1）求证：BE⊥平面ACB1；
（2）求二面角D1－AC－B1的余弦值；
（3）在棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的长；若不存在，请说明理由．

例20．如图，在五面体中，已知，，，且，．

（1）求证：平面与平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角余弦值的绝对值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

题型三：立体几何折叠问题
例21．如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

例22．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接

（1）证明：平面；
（2）在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值．

例23．如图1，在平面四边形PDCB中，，，，．将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示．

（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长．

例24．如图，在平面五边形中，为正三角形，，且．将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得．，分别为，的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．

例25．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠A＝60°，E，F分别为线段AB，CD上的点，且BE＝2AE，DF＝FC，现将△ADE沿DE翻折至的位置，连接，．

（1）若点G为线段上一点，且，求证：平面；
（2）当三棱锥的体积达到最大时，求二面角的正弦值．

例26．如图1，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，现将正方形沿翻折，使与重合，得到如图2所示的几何体，其中．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

例27．如图，在梯形中，，现将所在平面沿对角线翻折，使点B翻折至点E，且成直二面角．

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．

例28．如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

（1）证明：平面ABC．
（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

题型四：立体几何作图问题
例29．已知四棱锥中，底面为正方形，O为其中心，点E为侧棱的中点．

（1）作出过O、P两点且与平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要作图过程）；记该截面与棱的交点为M，求出比值（直接写出答案）；
（2）若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求与平面所成角的正弦值．

例30．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥中，平面与直线和直线平行，点为的中点，点在上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求作过作四棱锥的截面，使与截面平行（写出作图过程，不要求证明）．截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．

例31．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）．

（1）作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
（2）若为棱的中点，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由．

例32．如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）．

（1）作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
（2）若，均为其所在棱的中点，求点到平面的距离．

例33．如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点．

（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．

例34．如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．

（1）求多面体的体积；
（2）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

例35．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．，且平面，，点分别是线段上的中点，在上．且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．


题型五：立体几何建系繁琐问题
例36．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．


例37．如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值．

例38．如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．
（1）证明：；
（2）已知点，为线段，上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．


例39．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面．
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，．
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）设平面与平面的交线为，若，，求二面角的大小．

例40．已知四面体，，，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．


例41．已知四面体，，且平面平面．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求二面角的正切值．


题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
例42．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是
的中点，连接，
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求三棱锥的体积．

例43．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是
的中点，连接，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

例44．如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是、的中点，，，且二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．


例45．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．


例46．如图，在四面体中，已知，，
（1）求证：；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．


题型七：利用传统方法找几何关系建系
例47．如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．
（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；
（2）在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．


例48．在四棱锥中，为棱的中点，平面，，，，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值．

例49．三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为．
（Ⅰ）求侧棱的长；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

例50．如图，在四棱锥中，底面四边形内接于圆，是圆的一条直径，平面，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）若二面角的正切值为2，求直线与平面所成角的正弦值．


例51．如图所示，平面，为等边三角形，，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．


题型八：空间中的点不好求
例52．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，，，，分别是与的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．


例53．如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形．，．
（1）证明：平面
（2）求与平面所成角的正弦值．


例54．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，．
（Ⅰ）证明：是侧棱的中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．


例55．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，，，，，，点在棱上且，点为棱的中点．
在棱上且，点位棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值的大小．

例56．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

例57．三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．


例58．如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知，．，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．

题型九：创新定义
例59．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为．

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．

例60．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

例61．（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．

例62．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义．