2024年湖南省新高考教学教研联盟高考数学第二次联考试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省新高考教学教研联盟高考数学第二次联考试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为( )
A. 2B. 8C. 8.2D. 8.5
2.若椭圆x2a2+y24=1(a>0)的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )
A. 55B. 33C. 55或12D. 33或 55
3.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是( )
A. 28码B. 29.5码C. 32.5码D. 34码
4.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是( )
A. E，F，G，H四点共面
B. EF/​/GH
C. EG，FH，AA1三线共点
D. ∠EGB1=∠FHC1
5.设OA=(1,0)，OB=(0,2)，对满足条件|OC−OA−OB|=2|OA−OB|的点C(x,y)，|x−2y+m|+|x−2y−7|的值与x，y无关，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,−7)B. [13,+∞)
C. (13,+∞)D. (−∞,−7)∪[13，+∞)
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆与双曲线C交于点P，且OP在OF1上的投影向量为35OF1，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天.其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有( )
A. 792种B. 1440种C. 1728种D. 1800种
8.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a2−b2+c2+ 2ac=0，若cs(A−C)=7 210，
α∈(π4,π2),cs(α+A)cs(α+C)cs2α= 25，则tanα的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 2或4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数z=1+i1−i，则z30=−1
B. 若|z1|>|z2|，则z12>z22
C. 若z2≠0，则|z1z2|=|z1||z2|
D. 复数z在复平面内对应的点为Z，若|z+i|+|z−i|=2，则点Z的轨迹是一个椭圆
10.已知f(x)= 3sinωx2csωx2+cs2ωx2−12，ω>0，下列结论正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期为π，则ω=2
B. 若f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin=1
C. 若f(x)在[0,2π)上恰有4个极值点，则ω的取值范围为(53,136]
D. 存在ω，使得f(x)在[−π6,π4]上单调递减
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g(x+1)+f(1−x)=1，f(x+1)−g(x+2)=1，且y=f(x)的图象关于直线x=1对称，则以下说法正确的是( )
A. f(x)和g(x)均为奇函数B. ∀x∈R，f(x)=f(x+4)
C. ∀x∈R，g(x)=g(x+2)D. g(−32)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合M={x|x2−2x−31，n≥2时，有1np0)的焦距为2，
椭圆的焦点坐标在x轴时，
可得b=2，c=1，则a= 4+1= 5，e=ca= 55．
椭圆的焦点坐标在y轴时，a=2，c=1，离心率e=ca=12．
故选：C．
利用已知条件，求解a，然后求解离心率．
本题考查了椭圆的简单几何性质，离心率的求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列，共有24个尺码，
所以所有尺码的和为25+36.52×24=738，
又所有有货尺寸加起来的总和是677码，
故另一个缺货尺寸为738−677−28.5=32.5．
故选：C．
结合等差数列的性质先确定数列的项数，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，连接EF，GH，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，可得EF/​/B1C1，GH//B1C2，且EF=B1C1，GH=12B1C2，
可得EF/​/GH，所以A，B正确；
C中，可得四边形EFHG为梯形，所以EG与FH相交于一点，设交点为P，
则P∈EG，而EG⊂平面ABB1A1，
所以P∈平面ABB1A1，
FH⊂平面ACC1A1，
所以P∈平面ACC1A1，
所以P一定在平面ACC1A1与平面ABB1A1的交线上，
而平面ACC1A1∩平面ABB1A1=AA1，
所以P∈AA1，
即EG，FH，AA1三线共点，即C正确；
D中，因为tan∠EGB1=EBB1G，tan∠FHC1=FC1HC1，
因为EB=FC1，BG1与HC1不一定相等，所以tan∠EGB1与tan∠FHC1不一定相等，
所以∠EGB1与∠FHC1不一定相等，所以D不正确．
故选：D．
由各线的中点可证得EF/​/GH，且EF，HG不相等，可证得A，B为真命题；由点在两个平面上，可得这个点一定在两个平面的交线上，判断出C的真假；由∠EGB1与∠FHC1的正切值不一定相等，可得∠EGB1与∠FHC1不一定相等，判断出D的真假．
本题考查四点共面的求法及三线共点的求法，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：因为OA=(1,0)，OB=(0,2)，对满足条件|OC−OA−OB|=2|OA−OB|的点C(x,y)，
所以(x−1)2+(y−2)2=20，
又C到直线x−2y+m=0的距离d1=|x−2y+m| 5，
C到直线x−2y−7=0的距离d2=|x−2y−7| 5，
所以|x−2y+m|+|x−2y−7|= 5(d1+d2)，
若|x−2y+m|+|x−2y−7|的值与x，y无关，则圆(x−1)2+(y−2)2=20在平行线线x−2y+m=0与x−2y−7=0之间，
即两平行线间距离d=|m+7| 5≥4 5，且(1−4+m)(1−4−7)3，
故m的范围为{m|m≥13}．
故选：B．
由已知结合向量线性运算的坐标表示求出C的轨迹方程，结合点到直线的距离公式及平行线间的距离公式即可求解．
本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，直线与圆的位置关系，平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：∵OP在OF1上的投影向量为35OF1，
∴cs∠POF1=35，又|OP|=|OF2|，∴∠OF2P=∠OPF2=12∠POF1，
∴可得cs∠OF2P= 1+352=2 5，又易知F1P⊥F2P，
∴|PF1|=2c×1 5=2c 5，|PF2|=2c×2 5=4c 5，
∴2a=|PF2|−|PF1|=2c 5，
∴双曲线C的离心率为2c2a=2c2c 5= 5．
故选：D．
根据投影向量的概念，三角函数，双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，化归转化思想，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：当甲安排在初一或初二时，有2414C21CC62CC22=720种不同排法，
当甲不安排在初一或初二时，有A42(24C62CC22−522C42C)=720种不同排法，
综上所述，共有720+720=1440种不同排法．
故选：B．
分甲安排在初一或初二和甲不安排在初一或初二两种情况，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得，a2+c2−b2=− 2ac，
由余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=− 22，
由B为三角形内角可得，B=3π4，
因为cs(α+A)cs(α+C)cs2α= 25，
则(csαcsA−sinαsinA)(csαcsC−sinαsinC)cs2α= 25，
即(csA−tanαsinA)(csC−tanαsinC)=2，
化简得，csAcsC−tanα(csAsinC+sinAcsC)+tan2αsinAsinC= 25，
即csAcsC−tanαsin(A+C)+tan2αsinAsinC= 25①，
由B=3π4得，A+C=π4，
则cs(A+C)=csAcsC−sinAsinC= 22，
因为cs(A−C)=7 210=csAcsC+sinAsinC，
所以csAcsC=3 25，sinAsinC= 210，
代入①得，35 2− 22tanα+ 210tan2α= 25，
化简得tan2α−5tanα+4=0，解得tanα=1或tanα=4，
因为α∈(π4,π2)，
所以tanα>1，
故tanα=4．
故选：C．
由已知结合余弦定理可求csB，进而可求B，然后结合两角和与差的余弦公式可求csAcsC=3 25，sinAsinC= 210，再由和差角公式对等式cs(α+A)cs(α+C)cs2α= 25进行化简，即可求解．
本题主要考查了余弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，所以z30=i30=i2=−1，故A正确；
对于B，取z1=2i，z2=1满足|z1|>|z2|，但z12=−4,z22=1，所以z12>z22不成立，故B错误；
对于C，若z2≠0，根据模的性质|z1z2|=|z1||z2|，故C正确；
对于D，复数z在复平面内对应的点为Z，若|z+i|+|z−i|=2，则点Z的轨迹是线段，故D错误．
故选：AC．
根据复数的运算性质逐项判断即可．
本题考查复数的运算性质，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：f(x)= 3sinωx2csωx2+cs2ωx2−12
= 32sinωx+12csωx=sin(ωx+π6)，
对于A，2πω=π，又ω>0，∴ω=2，故A正确；
对于B，将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到y=sin[ω(x+π3)+π6]=sin(ωx+ωπ3+π6)，
若所得图象关于y轴对称，则ωπ3+π6=π2+kπ，得ω=1+3k，k∈Z，所以ωmin=1，故B正确；
对于C，由x∈[0,2π)，得ωx+π6∈[π6,2πω+π6),
若f(x)在[0,2π)上恰有4个极值点，则7π20，
结合正弦函数的性质可知，f(x)在[−π6,π4]上不可能单调递减，故D错误．
故选：ABC．
先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由f(x+1)−g(x+2)=1，得f(x)−g(x+1)=1，
又g(x+1)+f(1−x)=]，
∴f(x)+f(1−x)=2，
∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(1−x)=f(1+x)，
∴f(x)+f(1+x)=2，
∴f(x+2)+f(1+x)=2，
∴f(x)=f(x+2)，∴T=2，f(x)=f(x+4)，B正确；
∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(−x)=f(2+x)，∴f(x)=f(−x)，∴f(x)是偶函数，∴A错误；
又g(x)+f(2−x)=1，
∴g(x)+f(x)=1，
∴g(−x)+f(−x)=1，又f(x)是偶函数，
∴g(−x)=g(x)，
∴g(x)是偶函数，
∵f(x+1)−g(x+2)=1，g(x+1)+f(1−x)=1，y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(1−x)=f(1+x)，
∴g(x+1)+g(x+2)=0，
∴g(x)+g(x+1)=0，
∴g(x+2)=g(x)，
∴2为g(x)的周期，C正确；
由f(x)+f(1−x)=2，f(12)=1，又f(x)=f(x+2)，
∴f(−32)=1，由g(x)+f(x)=1，g(−32)+f(−32)=1，
∴g(−32)=0，D正确．
故选：BCD．
利用对称性、和周期性的性质，结合f(x)与g(x)之间的关系，逐项判断即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的综合应用，属于中档题．
12.【答案】{a|a≥3}
【解析】解：集合M={x|x2−2x−3